Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

a)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar do resultado da seguinte integral de linha ao longo do caminho γ :

∫ 2 y d x - 3 x d y

Onde γ é dado por:

x = 1 - t

  y = 5 - t

E t está contido no intervalo 0 ≤ t ≤ 1

Para resolver esse problema temos que parametrizar a curva γ em termos de t e depois aplicar na integral.

E aí? Bora lá?

���

Passo 2

Dessa forma, já sabemos pelo enunciado que:

x = 1 - t

y = 5 - t

Agora, vamos calcular as diferenciais d x e d y e termos de d t :

d x = - d t

d y = - d t

Assim, substituindo as expressões para d x e d y na integral de linha, temos:

∫ 2 y d x - 3 x d y = ∫ 0 1 2 5 - t - d t - 3 1 - t - d t ∴

∫ 2 y d x - 3 x d y = ∫ 0 1 - 7 - t d t

Passo 3

Por fim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

∫ 0 1 - 7 - t d t =

= - 7 t - t 2 2 1 0 ∴

= - 7 - 1 2 ∴

= - 15 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

- 15 2

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