Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Ver Teoria

Enunciado

(a) Identifique e faça um esboço da superfície S 1 no espaço R 3 dada por x 2 = 2 y .

(b) Parametrize a curva C em R 3 que é interseção das superfícies S 1 e do paraboloide hiperbólico S 2 dado por 3 z = x y .

(c) Encontre o comprimento da curva C da origem até o ponto 6,18,36 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

No item a) foi dada uma superfície S 1 descrita por x 2 = 2 y e temos que simplesmente esboçar seu gráfico.

Já no item b) a coisa começa a ficar um pouquinho mais difícil. Temos que obter a intersecção entre S 1 e uma outra superfície S 2 dada por 3 z = x y e com base nessa intersecção, parametrizar o vamos chamar de curva C .

E no item c) temos que encontrar o comprimento de C da origem do sistema até o ponto 6,18,36 .

E aí? Parece tranquilo pra você? 👀

Vamos começar resolvendo o item a).

Bora lá!

Passo 2

Para obter o gráfico de S 1 podemos começar isolando y   em um lado da equação

y = x 2 2

Esse gráfico é conhecido por nós já que é muito parecido com y = x 2

Como z não influencia no resultado, o gráfico será o mesmo em qualquer z . Plotando o gráfico de S 1 , temos

No item b) temos que parametrizar a intersecção entre S 1 e S 2 o que vai nos resultar na curva C .

Lembrando que a parametrização de uma curva significa que vamos escrever tudo em função de uma única variável t .

C t = x t , y t , z t

Para começar, vamos escrever uma das variáveis como t para usar como referência.

Temos duas superfícies

x 2 = 2 y   3 z = x y

Se usarmos y = t , y t = t . Como x 2 = 2 y , x = 2 y , logo x t = 2 t

Isolando z na segunda equação, temos

z = x y 3

Substituindo x e y pela parametrização que fizemos, vamos obter

z = 2 t t 3 → z t = 2 t 3 2 6

Logo, a parametrização da curva C é dado como

C t = 2 t , t , 2 t 3 2 6

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Por último, no item c) temos que calcular o comprimento da curva C da origem do sistema até o ponto 6,18,36 .

A distancia de uma curva parametrizada é dada por

L = ∫ t i t f ∇ C t d t = ∫ t i t f x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2 d t

t i é dado pelo ponto inicial da parametrização, no caso 0,0 , 0 , como C t = 2 t , t , 2 t 3 2 6 , vemos que t i = 0 .

t f é dado pelo ponto final da parametrização, ou seja 6,18,36 . Se C t = 2 t , t , 2 t 3 2 6 , t f = 18 .

Agora temos que calcular o gradiente de C .

C ' t = d 2 t d t , d t d t , d 2 t 3 2 6 d t

Por derivação polinomial e pela regra da cadeia, temos

C ' t = 1 2 2 t · 2 , t 1 - 1 , 3 2 2 t 3 2 - 1 6

C ' t = 1 2 t , 1 , t 2

Calculando o módulo desse vetor, temos

C ' t = 1 2 t 2 + 1 2 + t 2 2

C ' t = 1 2 t + 1 + t 2

Colocando todos no mesmo denominador, temos

C ' t = 1 + 2 t + t 2 2 t

C ' t = 1 + t 2 2 t

C ' t = 1 + t 2 t

Com isso, calculamos a integral que vai nos resultar no comprimento de C entre 0,0 , 0 e 6,18,36 .

L = ∫ 0 18 1 + t 2 t d t

L = ∫ 0 18 1 2 t d t + ∫ 0 18 t 2 t d t

Bacana, não é?

Passo 4

Podemos simplificar um pouquinho nossa segunda integral que pode facilitar nossa vida

∫ 0 18 t 2 t d t = ∫ 0 18 t 2 d t

L = ∫ 0 18 1 2 t d t + ∫ 0 18 t 2 d t

Tirando as constantes para fora, temos

L = 1 2 ∫ 0 18 1 t d t + ∫ 0 18 t d t

Escrevendo as raízes em potências

L = 1 2 ∫ 0 18 t - 1 2 d t + ∫ 0 18 t 1 2 d t

Por integração polinomial, temos

∫ t - 1 2 d t = t - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = 2 t

∫ t 1 2 d t = t 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 3 t 3

Aplicando os limites de integração, temos

∫ 0 18 t - 1 2 d t = 2 18 - 2 0 = 6 2

∫ 0 18 t 1 2 d t = 2 3 18 3 - 2 3 0 3 = 36 2

Substituindo os resultados em L , vamos obter

L = 1 2 6 2 + 36 2

L = 42

Encontramos que o comprimento da curva C entre a origem do sistema até o ponto 2,18,36 é de 42 unidades de comprimento!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) No passo 2!

b) C t = 2 t , t , 2 t 3 2 6

c) L = 42

Exercícios de Livros Relacionados

Como se calcula a área de uma superfície parametrizada no espa-ço? E de uma superfície implicitamente definida F(x, y, z) = 0?E da superfície que é o gráfico de z = ƒ(x, y)? Dê exemplos
Calcule 1C F ∙ T ds para o campo vetorial F = x2i – yj ao longoda curva x = y2 de (4, 2) a (1, –1).
Calcule int_C x y d x + ( x + y ) d y ao longo da curva y = x^2 de ( - 1,1 ) a ( 2,4 )
O que são integrais de linha? Como elas são calculadas? Dêexemplos
Calcule as integrais nos Exercícios 9 e 10.10. ∫ y 2d x + x 2d x C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .