Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

1. Esboce a imagem da curva γ , indicando o seu sentido de percurso, sendo:

a) γ t = 3 - 4 . sin ⁡ t , - 5 + 3 . cos ⁡ t , t ∈ 0,2 π .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma curva parametrizada e nosso objetivo é esboçar seu gráfico e indicar o sentido do seu percurso.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para verificar como o gráfico de γ se comporta, podemos “desparametrizar” a função ou analisar o comportamento da função parametrizada...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Se a função parametrizada é dada por

γ t = 3 - 4 . sin ⁡ t , - 5 + 3 . cos ⁡ t

Podemos imaginar que a função foi parametrizada como por coordenadas polares em que x = 3 - 4 sin ⁡ t e y = - 5 + 3 cos ⁡ t , ou seja

4 sin ⁡ t = 3 - x

3 cos ⁡ t = y + 5

Como os termos que multiplicam sin ⁡ t e cos ⁡ t são diferentes, podemos determinar que a figura formada se trata de uma elipse centrada em 3 , - 5 com a = 4 e b = 3 ...

x - 3 2 16 + y + 5 2 9 = 1

Perceba que substituindo x e y na equação, vemos que a igualdade será satisfeita...

Portanto o gráfico de γ será dado por

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

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