Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

UFPE, Cálculo 3, 1°EE - 2019.1, Questão 2

Parametrize a curva obtida pela interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o paraboloide hiperbólico z = x 2 - y 2 .

Passo 1

Questão diretona! Pra começar ela, vamos parametrizar a mais fácil, tranquilo?

A parametrização que a gente já está cansado de fazer seria x 2 + y 2 = 1 , certo? Onde

x = cos t

y = s e n   t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos trabalhando com uma interseção, subistituimos os valores de x e y que a gente já tem, na outra função pra descobrir o z .

z = x 2 - y 2

z = cos 2 t - s e n 2 t

Passo 3

Com isso a gente já acabou a questão! A parametrização fica então:

σ t = ( cos t ,   s e n   t , cos 2 t - s e n 2 t )

Se você quiser deixar mais bonitinho, você pode escrever que , cos 2 t - s e n 2 t = cos 2 t

σ t = ( cos t ,   s e n   t , cos 2 t )

Mas relaxa que se você não lembrar dessa relação trigonométrica, a primeira opção já está certinha.

Resposta

σ t = ( cos t ,   s e n   t , cos 2 t )

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