Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ c x 2 d x + y 2 d y , onde C consiste na metade superior da circunferência x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) a ( 0,2 ) e no segmento de reta de ( 0,2 ) a ( 4,3 )

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que se ligar é que a integral de linha do problema

∫ c x 2 d x + y 2 d y

pode ser escrita na forma

∫ c F → x , y ⋅ d r →

Com

F → x , y = ( x 2 , y 2 ) d r → = ( d x , d y )

Outra coisa que devemos fazer é uma representação do caminho C . Primeiro ele começa com um pedaço de x 2 + y 2 = 4 , que é um círculo de raio 2, que liga os pontos ( 2,0 ) e ( 0,2 ) . Para facilitar a gente vai chamar esse trecho de C ’ . Depois ele fala que tem uma reta que liga esse ponto 0,2 ao ponto ( 4,3 ) que a gente vai chamar de C " . Olha só como esse caminho fica

A gente observa que o caminho total é C = C ' + C " e vamos resolver esse problema calculando a integral de linha em C ' e depois em C " porque temos

∫ c F → x , y ⋅ d r →   =   ∫ c ' F → x , y ⋅ d r → +   ∫ c ' ' F → x , y ⋅ d r →

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral ao longo de C '

∫ c ' F → x , y ⋅ d r →  

Para resolver essa integral de linha a gente tem que escrever o caminho C ' através de uma curva parametrizada σ → ( t ) e usamos

∫ c ' F → x , y ⋅ d r → =   ∫ t i t f F → x t , y t ⋅ σ → ' ( t ) d t

Doideira né? Mas vem comigo que vai dar bom!

Vamos conhecer quem é quem nessa integral da direita. Como a nossa curva C ' é um pedaço de círculo de raio 2 , podemos usar as coordenadas polares e escrever

x t = 2 cos ⁡ t y t = 2 sen ⁡ t

Dessa forma, a curva parametrizada é

σ → t = ( 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t )

Mas como que a gente diz que vamos ter um pedacinho do círculo? Olha, o t nessa equação é o ângulo. Se temos só um quarto do círculo, temos que ter

0 ≤ t ≤ π 2

E aí a gente já vê que t i = 0 e t f = π / 2 .

A função F → , usando agora o x ( t ) e y t fica assim ó: F → x t , y t = x t 2 , y t 2 F → x t , y t = 2 cos ⁡ t 2 ,   2 sen ⁡ t 2 F → x ( t ) , y ( t ) = ( 4 cos 2 ⁡ t ,   4 sen 2 ⁡ t )

Aquele σ → ' t que aparece na fórmula é só a derivada de σ → t em relação ao tempo

σ → ' t = ( 2 cos ⁡ t ' , ( 2 sen ⁡ t ) ' )

σ → ' t = ( - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t )

Passo 3

Usando todas essas informações em

∫ c ' F → x , y ⋅ d r → =   ∫ t i t f F → x t , y t ⋅ σ → ' ( t ) d t

Temos

∫ c ' F → x , y ⋅ d r → =   ∫ 0 π / 2   ( 4 cos 2 ⁡ t ,   4 sen 2 ⁡ t ) ⋅ ( - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t ) d t

Resolvendo o produto escalar que surge na integral

=   ∫ 0 π 2 [ 4 cos 2 ⁡ t . - 2 sen ⁡ t + ( 4 sen 2 ⁡ t ) . ( 2 cos ⁡ t ) ] d t =   ∫ 0 π 2 - 8 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t + 8 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t =   ∫ 0 π 2 - 8 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t d t +   ∫ 0 π 2 8 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t =   - 8 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t d t + 8   ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Passo 4

Ambas as integrais podem ser resolvidas usando o método da substituição simples. Olha só a primeira

- 8 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t d t

Se escolhermos u = cos ⁡ t , temos d u =   - sen ⁡ t d t . Os limites da integral a gente muda usando

u 0 = cos ⁡ 0 = 1 u π 2 = cos ⁡ π 2 = 0

Então temos

- 8 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t d t = 8   ∫ 1 0 u 2 d u = 8 u 3 3 1 0 = 0 - 8 3 =   - 8 3

Da mesma forma, podemos resolver a segunda integral usando a substituição simples

8   ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Se escolhermos u ' = sen ⁡ t , temos d u ' =   cos ⁡ t d t . Os limites da integral a gente muda usando

u ' 0 = s en ⁡ 0 = 0 u ' π 2 = sen ⁡ π 2 = 1

Então temos

8   ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t =   = 8   ∫ 0 1 u ' 2 d u ' = 8 u 3 3 0 1

= 8 3 - 0 =   8 3

Passo 5

Juntando nossos resultados temos

∫ c ' F → x , y ⋅ d r → =   - 8 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t d t + 8   ∫ 0 π 2 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t ∫ c ' F → x , y ⋅ d r → =   - 8 3 + 8 3 = 0

E assim a gente calcula a integral pelo primeiro caminho

Passo 6

Agora vamos para o caminho C " . Como ele é uma reta, a parametrização da curva é:

x t = a t + x 0 y t = b t + y 0

Mas quem são esses a ,   b ,   x 0   e   y 0 ? Bem, o a e o b são as componentes de um vetor paralelo à reta. A gente calcula esses caras usando dois pontos da reta... Que pontos? O problema já nos dois os pontos ( 0,2 ) e ( 4,3 ) a gente precisa apenas fazer uma subtração entre eles n → =   4,3 - 0,2 = ( 4,1 )

Dessa forma a gente tem a = 4 b = 1

O x 0 e o y 0 são as componentes de qualquer ponto da reta. Para facilitar, vou usar o ponto ( 0,2 ) então temos

x 0 = 0 y 0 = 2

Então a gente conseguiu a parametrização

x t = 4 t y t = t + 2  

Como o ponto inicial é o ( 0,2 ) para chegar nele através dessa parametrização temos que ter t i = 0 e para o ponto (4,3) temos que ter t f = 1 .

A função F → , usando agora o x ( t ) e y t fica assim ó:

F → x t , y t = x t 2 , y t 2

F → x t , y t = ( 4 t ) 2 , ( t + 2 ) 2 = ( 16 t 2 ,   t 2 + 2 t + 4 )

Aquele σ → ' t que aparece na fórmula é só a derivada de σ → t em relação ao tempo

σ → ' t = 4 t ' , t + 2 ' = ( 4 ,   1 )

Passo 7

Usando todas essas informações em

∫ c ' F → x , y ⋅ d r → =   ∫ t i t f F → x t , y t ⋅ σ → ' ( t ) d t

Temos

∫ c ' F → x , y ⋅ d r → =   ∫ 0 1 16 t 2 ,   t 2 + 2 t + 4 ⋅ ( 4 ,   1 ) d t

Resolvendo o produto escalar que surge nessa integral

=   ∫ 0 1 4.16 t 2 + t 2 + 2 t + 4 d t =     ∫ 0 1 65 t 2 + 2 t + 4 d t = 65 t 3 3 + t 2 + 4 t   0 1 = 65 3 + 1 + 4 - 0 = 80 3

Passo 8

Ufa!! Finalmente podemos escrever

∫ c x 2 d x + y 2 d y =   ∫ c ' x 2 d x + y 2 d y +   ∫ c ' ' x 2 d x + y 2 d y = 0 + 80 3 = 80 3

Resposta

80 3

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