Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule o comprimento da curva

γ ( t ) = ( t ,   3 t 2 / 2,3 t 2 / 2 ) ,   0 ≤ t ��� 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( t ,   3 t 2 / 2,3 t 2 / 2 ) ,   0 ≤ t ≤ 2

Lembram como calculamos? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, seu tamanho será dado por:

∫ γ d s   =   ∫ a b | γ ' ( t ) | d t

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( t ,   3 t 2 / 2,3 t 2 / 2 ) ,   0 ≤ t ≤ 2

Logo,

γ ' ( t ) = ( 1,3 t , 3 t )

então

| γ ' ( t ) | = 1 + 18 t 2

Então nossa integral fica

γ ( t ) = ( t ,   3 t 2 / 2,3 t 2 / 2 ) ,   0 ≤ t ≤ 2

∫ 0 2 = 1 + 18 t 2 d t

Passo 3

∫ 0 2 = 1 + 18 t 2 d t

Fazendo t = t g ( u ) / ( 3 2 ) ⇒ d t = s e c 2 ( u ) / 3 2 ) d u

1 / ( 3 2 ) ∫ t g 2 ( u ) + 1 s e c 2 ( u ) d u

u s a n d o   q u e   t g 2 + 1 = s e c 2

= 1 / ( 3 2 ) ∫ s e c 3 ( u ) d u

Integrando

=   1 / ( 6 2 ) ( ( - l o g ( c o s ( u / 2 )   -   s i n ( u / 2 ) )   +   l o g ( c o s ( u / 2 )   +   s i n ( u / 2 ) )   +   s e c ( u )   t a n ( u ) ) )

Aplicando os limites de integração 0 ≤ u ≤ t g - 1 ( 6 2 )

= 73 + t a n h - 1 ( 6 2 / ( 1 + 73   ) ) 6 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 73 + t a n h - 1 ( 6 2 / ( 1 + 73   ) ) 6 2

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