Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

b)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar do resultado da seguinte integral de linha:

∫ - 1,1 1,1 x y   d x - y 2 d y

Lembrando que seu caminho é ao longo da parábola y = x 2 .

Para resolver esse problema temos que parametrizar a curva γ em termos de t e depois aplicar na integral.

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, parametrizando a curva, temos:

x = t

y = t 2

Onde t está no intervalo 1 , - 1 .

Agora, vamos calcular as diferenciais d x e d y e termos de d t :

d x = d t

d y = 2 t   d t

Assim, substituindo as expressões para d x e d y na integral de linha, temos:

∫ - 1,1 1,1 x y   d x - y 2 d y = ∫ - 1 1 t t 2 d t - t 2 2 2 t d t ∴

∫ - 1,1 1,1 x y   d x - y 2 d y = ∫ - 1 1 t 3 d t - 2 t 5 d t

Passo 3

Por fim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

∫ - 1 1 t 3 d t - 2 t 5 d t =

= t 4 4 - 2 t 6 6 1 - 1 ∴

= 1 4 - 1 4 + 2 6 - 2 6 ∴

= 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

0

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