Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

2. Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:

f) a curva no espaço de equação x 2 + y 2 = 1 ; z = 2 x - 2 y .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter a equação paramétrica da curva no espaço de equação x 2 + y 2 = 1 ; z = 2 x - 2 y .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para obter a equação paramétrica de uma curva, temos que escrever x e y em função de uma única variavel fazendo x = g t , y = h t e z = p t .

Dessa forma, nossa função paramétrica será dada por

f t = g t , h x , p x

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

Perceba que nesse caso temos que uma das equações que define a curva é dada por x 2 + y 2 = 1 , a partir dessa equação podemos imaginar que x e y poderão ser parametrizadas a partir das coordenadas polares...

z   é definido explicitamente em função de x e y , dessa forma podemos parametrizar z substituindo a parametrização de x e y em z .

A partir das coordenadas polares temos que dada uma equação x 2 + y 2 = r 2 podemos parametrizar x como r cos ⁡ t e y como r sin ⁡ t .

Ou seja, se no nosso caso temos x 2 + y 2 = 1 , então temos

x = cos ⁡ t y = sin ⁡ t

Se z = 2 x - 2 y então podemos parametrizar z como

z = 2 cos ⁡ t - 2 sin ⁡ t

Montando a função parametrizada com base nas informações que obtemos anteriormente, temos

f t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t - 2 sin ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f t = cos ⁡ t , sin ⁡ t , 2 cos ⁡ t - 2 sin ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π

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