Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 2c

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R 3 , interseção das superfícies dadas por:
  1. x 2 + y 2 = 1 e y + z = 2 .

Passo 1

Bem, será de grande ajuda se você sempre começar parametrizações assim, desenhando essa curva no espaço.

Mas calma, pois basta colocar essas superfícies juntas no R 3 que você verá a curva na intercessão delas! Veja:

y + z = 2 é uma plano paralelo ao e i x o   x e... x 2 + y 2 = 1 é um cilindro de raio 1 ...

E eis a curva como intercessão delas !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos em cima de um cilindro, podemos pensar na parametrização cilíndrica (semelhante às mudanças para coordenadas cilindricas ;)

x = R a i o   d o   c i l i n d r o cos t

y = R a i o   d o   c i l i n d r o sin t

Como o raio do cilindro é 1 ...

x = cos t

y = sin t

Quanto ao z , bem repare que ele é dado em cima do plano y + z = 2 ... Isolando o z ...

z = 2 - y

logo...

z = 2 - sin t

r t = cos t ,   sin t , 2 - sin t

Passo 3

Agora se lembre: nunca devemos terminar uma parametrização sem encontrar onde esse parâmetro t está variando, ok?

Nesse caso, como pode ser notado no desenho, queremos uma volta completa, então...

0 t 2 π

Resposta

r t = cos t ,   sin t , 2 - sin t ,   0 t 2 π

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