Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 3, Questão 2d

  1. Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R 3 , interseção das superfícies dadas por:
  1. x 2 + y 2 = 4               e               x 2 + z 2 = 4 ,   situada no primeiro octante.

Passo 1

Bem, será de grande ajuda se você sempre começar parametrizações assim, desenhando essa curva no espaço.

Mas calma, pois basta colocar essas superfícies juntas no R 3 que você verá a curva na intercessão delas! Veja:

x 2 + y 2 = 4 é um cilindro de raio 2 ao redor do e i x o   z e... x 2 + z 2 = 4 é um cilindro de raio 2 também, mas dessa vez ao redor do e i x o   y ...

E eis a curva como intercessão delas no primeiro octante!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como estamos em cima de um cilindro centrado z , podemos pensar na parametrização cilíndrica (semelhante às mudanças para coordenadas cilindricas ;)

x = R a i o   d o   c i l i n d r o cos t

y = R a i o   d o   c i l i n d r o sin t

Como o raio do cilindro é 2 ...

x = 2 cos t

y = 2 sin t

Quanto ao z , bem repare que ele é dado pela intercessão dos dois cilindros. Fazer isso em matemática é resolver o sistema com as duas equações:

x 2 + y 2 = 4 x 2 + z 2 = 4        

Pow! Apenas de observar essas duas equações, pegamos que

z 2 = y 2

então...

z = y

z = 2 sin t

e a parametrização final fica...

r t = 2 cos t , 2   sin t , 2 sin t

Passo 3

Agora se lembre: nunca devemos terminar uma parametrização sem encontrar onde esse parâmetro t está variando, ok?

Nesse caso, como pode ser notado no desenho, estamos no primeiro octante, onde vemos que t dá um quarto de uma volta completa:

0 t π 2

Resposta

d )   r t = 2 cos t , 2   sin t , 2 sin t ,       0 t π 2

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