Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009 – Modificado

Parametrize a curva C , fronteira do triângulo de vértices 0,0 , 1,0 e 0,1 , orientada no sentido anti-horário.

Dica: Aqui é preciso parametrizar cada um dos lados do triângulo de forma independente, afinal, cada um deles é um segmento de uma reta diferente.

Passo 1

Como já diz a nossa dica, vamos precisar descobrir a equação de cada uma das retas pra poder parametrizar a curva C inteira. Antes de mais nada, vamos esboçar esse triângulo

Beleza, precisamos então, para cada um dos lados do triângulo, encontrar o vetor direção e depois parametrizar o segmento de reta tomando cuidado com o sentido que escolhemos.

Tendo o vetor direção V = ( a , b ) e sabendo o ponto inicial P 0 = x 0 , y 0 , sabemos que a parametrização do segmente vai ser

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

Depois escolhemos x ou y para determinar os limites de t , vamos lá?

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Passo 2

Vamos começar pela reta que se encontra no eixo y , vamos chama-la de C 1 . Ela é o segmento de reta que liga ( 0,1 ) a 0,0 , certo? Seu vetor direção V = B - A

V = 0,0 - 0,1

V = 0 , - 1

É importante lembrar que ( 0 , - 1 ) 0,1 , que seria o vetor no outro sentido, tome cuidado com isso!

Beleza, nessa reta aqui, já temos dois pontos A = 0,1 e B = ( 0,0 ) , podemos escolher qualquer um deles como P 0 , o que vai mudar vão ser os limites de t . Aqui vou fazer os dois casos só pra você ver como fica, nas próximas retas vamos sempre escolher apenas um.

Para o ponto P 0 = A = 0,1 a parametrização fica

y t = 1 - t

x t = 0

Ué? x pode ser igual a zero?! Pode sim! O que isso quer dizer é que, para qualquer valor de t , a coordenada x da reta vai sempre ser zero. Se você olhar pro esboço dá pra perceber que isso é verdade.

E quais os limites de t nesse caso? Vamos ver isso por y , que vai de 1 a 0

y = 1 = 1 - t t = 0

y = 0 = 1 - t t = 1

0 t 1

E se escolhêssemos o outro ponto dessa reta pra fazer a parametrização? Olha só como fica!

A = 0,0

x t = 0

y t = - t

Sendo que y vai de 1 a 0 também, com isso

y = 1 = - t t = - 1

y = 0 = - t t = 0

- 1 t 0

r 1 t = 0,1 - t 0 t 1

r 1 t = 0 , - t - 1 t 0

Ambas parametrizações estão corretas!

Passo 3

Vamos para o próximo seguimento de reta, chamaremos de C 2 que liga B a C . Para encontramos o vetor direção é só fazer o ponto final menos o inicial, certo?

V = C - B = 1,0 - 0,0

V = 1,0

Escolhendo o ponto P 0 = B = 0,0 para parametrizar essa reta ficamos com

x t = 0 + t = t

y t = 0

De novo um termo é igual a zero e, de novo, isso não é problema! Veja que y realmente sempre é zero nessa reta, tranquilo? Vamos ver os limites de t agora.

Sabemos que x vai de 0 até 1 , portanto

x = 0     t = 0

x = 1     t = 1

0 t 1

r 2 t = t , 0   0 t 1

Passo 4

Vamos para o último segmento de reta C 3 , aquele que liga C a A . Novamente vamos encontrar o vetor direção pela diferença entre os pontos final e inicial

V = A - C = 0,1 - 1,0

V = - 1,1

Escolhendo o ponto P 0 = C = 1,0 para parametrizar a reta, ficamos com

x t = 1 - t

y t = t

Para determinar os limites de t , sabemos que y começa valendo zero no ponto C e termina valendo 1 no ponto A , portanto

y = 0 t = 0

y = 1 t = 1

0 t 1

Veja que, pela parametrização de x

t = 0 x = 1 - 0 = 1

t = 1 x = 1 - 1 = 0

Portanto, de fato essa parametrização leva 1,0 até 0,1 .

r 3 t = 1 - t   ,   t 0 t 1

Passo 5

Pronto! Agora só juntando tudo pra ficar bonito

C = C 1 C 2 C 3

Onde

C 1 = r 1 t = 0,1 - t 0 t 1

C 2 = r 2 t = t , 0   0 t 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t 0 t 1

Resposta

C = C 1 C 2 C 3

C 1 = r 1 t = 0,1 - t 0 t 1

C 2 = r 2 t = t , 0   0 t 1

C 3 = r 3 t = 1 - t   ,   t 0 t 1

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