Exercícios Resolvidos de Parametrização de Curvas

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Enunciado

Seja a curva parametrizada γ → t = cos ⁡ ( t ) , sen ⁡ t ,   2 2 t , 0 ≤ t ≤ 2 π .

  1. Qual a distância, menor possível, do ponto da curva γ para t = π / 2 ao ponto da curva γ para t = 3 π / 2 ?
  2. Considere uma partícula de massa desprezível que percorre a curva γ . Qual seria a distância percorrida sobre a curva γ para a partícula ir do instante t = π / 2 até o instante t = 3 π / 2 ?

Passo 1

A letra a) nos pede para calcularmos a menor distância possível entre dois pontos.

A menor distância entre dois pontos é percorrida se, e somente se, andarmos em linha reta do ponto A ao ponto B.

Certo, mas como calculamos esta distância em si? Para isto, basta fazermos a norma da diferença das coordenadas dos pontos.

Como???? Confuso né! Vamos ver com calma então. Seja os pontos A = x 0 , y 0 , z 0 e B = x 1 , y 1 , z 1 . Portanto, a distância em linha reta entre esses pontos é dada por:

d A , B = x 1 - x 0 2 + y 1 - y 0 2 + z 1 - z 0 2

Pronto, nosso trabalho agora é descobrir quem são essas coordenadas.

Passo 2

O ponto A é obtido na curva parametrizada γ → t quando t = π / 2 . Portanto,

γ → π 2 = cos ⁡ π 2 , sen ⁡ π 2 ,   2 2 π 2

γ → π 2 = 0 , 1 ,   2 π

Já para o ponto B , basta substituirmos t = 3 π / 2 na equação da curva parametrizada. Logo,

γ → 3 π 2 = cos ⁡ 3 π 2 , sen ⁡ 3 π 2 ,   2 2 3 π 2

γ → 3 π 2 = 0 , - 1 , 3 2 π

Portanto, a distância entre esses pontos é:

d A , B = d γ → π 2 , γ → 3 π 2 = 0 - 0 2 + - 1 - 1 2 + 3 2 π - 2 π 2

0 2 + - 2 2 + 2 2 π 2 = 4 + 8 π 2

Portanto, a distância entre os dois pontos é:

4 + 8 π 2

Resposta

d A , B = d γ → π 2 , γ → 3 π 2 = 4 + 8 π 2

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