Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

16) Calcule as seguintes integrais:

e)

∮ C   y - x + arctan ⁡ x d x + 2 x - y + 1 + y 2   d y

onde C é a fronteira da região limitada pelas curvas y = x + 2 e y = x 2 .

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando

F → x ,   y = y - x + arctan ⁡ x ,   2 x - y + 1 + y 2

é muito complicado. Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema. Mas, para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

As derivadas parciais são...

∂ F 2 ∂ x = ∂ 2 x - y + 1 + y 2 ∂ x = 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ y - x + arctan ⁡ x ∂ y = 1

logo

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

∮ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma curva C fechada delimitando a região D .

2º - A curva C , orientada positivamente.

3º - Um campo F → sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

1º - Precisamos de uma curva C fechada e delimitando uma região D . Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é a curva composta por essas duas curvas y = x + 2 e y = x 2 .

Onde a região D é justamente esse espaço:

2º - E mais, ela está orientada positivamente sim!!!

Quando o problema não nos fala nada sobre a orientação, assumimos que é no sentido anti-horário, portanto positivamente

- O campo F → que estamos trabalhando...

F → x ,   y = y - x + arctan ⁡ x ,   2 x - y + 1 + y 2

nem tem singularidade :D!

Passo 4

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

∫ C   F → d r → = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla e beijinho no ombro ;)

Substituindo...

∫ C   F → d r → = ∬ D   1   d A

Para calcular essa integral dupla, devemos descrever a região D

O que pode ser feito utilizando o auxílio de uma região do Tipo 1...

O x varia do ponto no segundo quadrante até o ponto no primeiro de encontro da parábola y = x 2 com a reta y = x + 2 ...

y = x + 2       →             x 2 = x + 2             →             x 2 - x - 2 = 0

x = + 1 ± 1 + 8 2   →       x 1 = 2 x 2 = - 1

então:

- 1 ≤ x ≤ 2

Enquanto que o y varia da parábola até o reta...

x 2 ≤ y ≤ x + 2

Passo 5

∬ D     d A = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 d y d x

Calculando as integrais...

∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 d y d x = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 d y d x =

∫ - 1 2 x + 2 - x 2 d x = x 2 2 + 2 x - x 3 3 - 1 2 =

2 2 2 + 2 2 - 2 3 3 - - 1 2 2 + 2 - 1 - - 1 3 3 =

2 + 4 - 8 3 - 1 2 - 2 + 1 3 =

2 + 4 - 8 3 - 1 2 + 2 - 1 3 = 8 - 9 3 - 1 2 =

5 - 1 2 = 9 2

Resposta

e )     9 2

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