Calcule as seguintes integrais de linha:

∮ C   y 3 d x - x 3 d y

Onde C é o triângulo de vértices ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( 0 , - 1 ) , percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Bem, a expressão desse campo é bem simples, então podemos calcular essa integral pela definição sem problemas. Acontece que, como temos três segmentos de reta, temos que fazer três parametrizações e resolver três integrais de linha... então de repente vale à pena usar Green, né? Temos isso aqui:

∂ F 2 ∂ x = - 3 x 2

∂ F 1 ∂ y = 3 y 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - 3 x 2 + y 2

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa curva C . Temos isso aqui:

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido dentro dela, podemos escrever o seguinte:

∮ C   F . d r = ∬ R   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Ou seja:

∮ C   F . d r = - 3 ∬ R   x 2 + y 2 d x d y

Passo 3

Agora vamos escrever essa região R como tipo I e resolver essa integral.

Para isso, precisamos das equações das reta inclinadas. A de cima, liga os pontos ( 0,1 ) e ( 1,0 ) , substituindo na equação geral da reta, temos:

y = a x + b

1 = 0 + b         →         b = 1

0 = a + 1         →         a = - 1

y = - x + 1

Para a reta debaixo, temos os pontos ( 0 , - 1 ) e ( 1,0 ) :

- 1 = 0 + b         →       b = - 1

0 = a - 1         →         a = 1

y = x - 1

Como y varia entre a reta inclinada debaixo e a de cima, temos x - 1 ≤ y ≤ - x + 1 . E x , como podemos ver, varia de 0 a 1 . Levando para a integral:

∮ C   F . d r = - 3 ∫ 0 1 ∫ x - 1 - x + 1 x 2 + y 2 d y d x

Passo 4

Agora é só resolver isso aí:

= - 3 ∫ 0 1 x 2 y + y 3 3 x - 1 - x + 1 d x =

= - 3 ∫ 0 1 - x 2 x - 1 - x - 1 3 3 - x 2 x - 1 + x - 1 3 3 d x =

= - 6 ∫ 0 1 x 2 - x 3 - x - 1 3 3 d x =

= - 6 x 3 3 - x 4 4 - x - 1 4 12 0 1 =

= - 6 1 3 - 1 4 - 0 - 0 - 0 - 1 12 = - 6 1 3 - 1 4 + 1 12

= - 1

Resposta

- 1

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