7. Na regão D ; interior à elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e exterior à circunferência x 2 + y 2 = R 2 , com 0 < R < min ⁡ a , b , considere o campo vetorial F → = 2 x y + s e n x 2 i → + x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 j → . Calcular a integral de linha ∫ ∂ D F → d s .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que calcular a integral do campo vetorial F → = 2 x y + s e n x 2 i → + x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 j → em D em que D é a região interior à elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e exterior à circunferência x 2 + y 2 = R 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais de P e Q , em que P = 2 x y + s e n x 2 e Q = x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 .

∂ Q ∂ x = ∂ x 2 + 2 x + cos ⁡ y 2 ∂ x = 2 x + 2

∂ P ∂ y = ∂ 2 x y + s e n x 2 ∂ y = 2 x

Substituindo essas informações no teorema de Green, temos

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

∫ ∂ D F → d s = ∫ ∫ 2 x + 2 - 2 x d A

∫ ∂ D F → d s = ∫ ∫ 2 d A

∫ ∂ D F → d s = 2 ∫ ∫ d A

O que nos restou foi a integral da derivada da área, que resulta justamente na área.

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Nossa região est�� dentro da elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 e fora da circunferência x 2 + y 2 = R 2 .

Podemos simplificar a equação da elipse como

b 2 x 2 a 2 b 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = a 2 b 2 a 2 b 2 → x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A área de uma elipse é dada por

A e l i p = π a b

Onde a e b são exatamente as medidas da equação

Já a área da circunferência é dada por

A c i r c = π R 2

Como nossa região está dentro da elipse e fora da circunferência, a área da nossa região é dada por

A = A e l i p - A c i r c = π a b - π R 2

A = π a b - R 2

Substituindo no teorema...

∫ ∂ D F → d s = 2 ∫ ∫ d A = 2 π a b - R 2

∫ ∂ D F → d s = 2 π a b - R 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ ∂ D F → d s = 2 π a b - R 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem