Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Seja a integral de linha I = ∫ γ F → ⋅ d r → , onde

F → x , y = 2 x y 2 + ln ⁡ 16 + x 4 4 x 4 i → + - x 3 y + arctan ⁡ 2 y 4 32 + y 4 j →

e γ é a fronteira do conjunto T = x , y ∈ R 2 : 2 ≤ x ≤ 3 ,   x - 2 ≤ y ≤ 2 x ,   percorrida no sentido horário.

O valor de I é:

Escolha uma:

a) 55000 120

b) 44917 120

c) 55510 120

d) 45019 120

e) 35500 120

Passo 1

Cara, esse campo é muito feio e a região limitada por γ já está definidinha como extremos de integração. Então vamos ver se é uma boa usar o Teorema de Green. Para testar isso, vamos calcular o rotacional desse campo

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nosso campo é

F → x , y = 2 x y 2 + ln ⁡ 16 + x 4 4 x 4 ,   - x 3 y + arctan ⁡ 2 y 4 32 + y 4 = F 1 , F 2

Aí o rotacional fica

r o t   F → = - 3 x 2 y - 4 x y

Nossa, ficou super simples, né? Então, bora de Green!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O Teorema de Green diz que a gente pode calcular a integral de F = F 1 , F 2   em uma curva δ D por essa relação:

∫ δ D F → d r → = ∫ ∫ D r o t   F → d A

Onde D é uma região e δ D é a curva fronteira dessa região. Só que ele tem umas condições para aplicar.

Primeira condição: A nossa região precisa ser fechada. Como ele já chama γ de fronteira, a gente pode supor que nossa região é fechada.

Segunda condição: A fronteira precisa ser percorrida no sentido positivo: Que sentido é esse? Se ela for uma região sem buracos como a nossa, a gente precisa que ela esteja no sentido anti-horário.

Mas γ está no sentido horário. Aí o que a gente faz? Desiste?! Não!

A gente pode lembrar que

∫ γ - F → d r → = - ∫ γ F → d r →

Então, a gente só precisa mudar o sinal da integral de linha em γ . Aí fica tranquilo!

Aí, podemos reescrever o lado esquerdo do teorema assim

∫ δ D F → d r → = - ∫ γ F → d r →

Terceira condição: F → e suas derivadas não podem ter descontinuidades dentro da nossa região.

Percebe que ele só tem descontinuidade em x = 0 , e esse ponto não está dentro da nossa região porque ela começa em x = 2 .

Então essa tá tranquilo também. Bora lá aplicar o Teorema!

Passo 3

Substituindo nele as coisas que a gente tem:

- ∫ γ F → d r → = ∫ ∫ T r o t   F → d A

Vimos que r o t   F → = - 3 x 2 y - 4 x y :

∫ γ F → d r → = - ∫ ∫ T - 3 x 2 y - 4 x y d A

Aí a gente viu que T já está definido como extremos de integração

T = x , y ∈ R 2 : 2 ≤ x ≤ 3 ,   x - 2 ≤ y ≤ 2 x

Nossa integral fica

∫ γ F → d r → = - ∫ 2 3 ∫ x - 2 2 x - 3 x 2 y - 4 x y d y d x

Repara que integramos primeiro em relação a y , porque ele está entre funções de x .

A ideia é calcular o valor da integral de linha sobre γ calculando essa integral dupla da direita.

Passo 4

Bora calcular

∫ γ F → d r → = - ∫ 2 3 ∫ x - 2 2 x - 3 x 2 y - 4 x y d y d x

∫ γ F → d r → = ∫ 2 3 ∫ x - 2 2 x 3 x 2 y + 4 x y d y d x

∫ γ F → d r → = ∫ 2 3 3 x 2 y 2 2 + 4 x y 2 2 x - 2 2 x d x

∫ γ F → d r → = ∫ 2 3 3 x 2 4 x 2 2 + 4 x 4 x 2 2 - 3 x 2 x - 2 2 - 4 x x - 2 2 d x

∫ γ F → d r → = ∫ 2 3 6 x 4 + 8 x 3 - 3 x 3 2 + 3 x 2 - 2 x 2 + 4 x   d x = ∫ 2 3 6 x 4 + 1 3 x 3 2 + x 2 + 4 x   d x

∫ γ F → d r → = 6 5 x 5 + 13 8 x 4 + x 3 3 + 2 x 2 2 3

∫ γ F → d r → = 45019 120

Resposta

Letra d

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas