Calcule, usando o Teorema de Green, a seguinte integral de linha

∫ C y + e x d x   + ( 2 x + cos ⁡ y 2 )   d y ,

onde a curva C é a fronteira da região delimitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 .

Passo 1

Vamos ver nossa curva? Show

Pra achar os pontos de interseção a gente iguala nossas funções achando

y = y 4 → y y - 1 y 2 + y + 1 = 0

y = 0 → x = 0

y = 1 → x = 1

Então ficamos com 0,0   e   ( 1,1 ) .

Passo 2

Então, agora pelo teorema:

∫ C y + e x d x   + ( 2 x + cos ⁡ y 2 )   d y =   ∬ D Q x - P y d A

Onde

P = y + e x   e   Q = 2 x + cos ⁡ y 2

= ∬ D 2 - 1 d A = ∬ D d A  

Passo 3

Agora, pra determinar os intervalos de variação, só a gente voltar no nosso gráfico e ver que o Y varia entre as funções x 2 e   x , e o X entre 0 e 1.

∫ 0 1 ∫ x 2 x d y d x =   ∫ 0 1 [ x - x 2 ] d x = 2 3 x 3 2 - x 3 3 0 1

= 1 3

Questão resolvida galera!

Resposta

1 3

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