Considere a integral de linha

I = ∮ C   x 2 + 3 x 2 y 2 d x + 2 x 3 y + x 2 d y

Onde C é a curva que delimita a região R entre os gráficos de y = 0 e y = 4 - x 2 .

  1. Calcule I usando obrigatoriamente o Teorema de Green.
  2. Confira o resultado do item anterior calculando I pela definição.

Passo 1

Letra a)

Bom, para aplicar Green, precisamos começar calculando o termo ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = 6 x 2 y + 2 x

∂ F 1 ∂ y = 6 x 2 y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa região R , temos uma parábola com concavidade para baixo cortada pela reta y = 0 :

A curva C do problema é essa aí, para podermos aplicar Green, vamos orientá-la dessa forma:

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido em R , podemos escrever o seguinte:

∮ C   F . d r = ∬ R   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Ou seja:

I = ∮ C   x 2 + 3 x 2 y 2 d x + 2 x 3 y + x 2 d y = ∬ R   2 x d x d y

Passo 3

Agora vamos escrever essa região R como tipo I e resolver essa integral.

Temos y entre as curvas y = 0 e y = 4 - x 2 , enquando x varia de - 2 a 2 , como vemos na figura. Levando isso para a integral:

I = 2 ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 x d y d x

Agora é só resolver isso aí:

I = 2 ∫ - 2 2 x y 0 4 - x 2 d x

= 2 ∫ - 2 2 4 x - x 3 d x =

= 2 2 x 2 - x 4 4 - 2 2 =

= 0

Passo 4

Letra b)

Beleza, agora vamos calcular essa integral de linha pela definição. Antes de tudo, precisamos parametrizar C , que é formada por duas curvas com equações diferentes.

Vamos chamar a parábola de p e o segmento de reta de r , ok? Portanto, C é a união de p com r .

Vamos parametrizar a parábola y = 4 - x 2 usando x como parâmetro, para facilitar as coisas. Temos isso aqui:

p → x = x , 4 - x 2

Como podemos ver pelo gráfico, x vai de 2   a - 2 (respeitando a orientação da curva).

Como o segmento de reta pertence à reta y = 0 , podemos usar essa parametrização aqui:

r → x = x , 0

Olhando de novo para o gráfico, temos x de - 2 a 2 .

Passo 5

Agora vamos derivar essas parametrizações aí:

p → x = 1 , - 2 x

r → ' x = 1,0

Passo 6

Show, agora vamos montas as integrais, temos isso aqui:

I = ∮ C   F . d r = ∫ a b F C → ( t ) . C → ' d t

Mas C é formada por duas partes:

I = ∫ p   F . d r + ∫ r   F . d r = ∫ c d F p → ( x ) . p → ' d x + ∫ e f F r → ( x ) . r → ' d x

Substituindo o que encontramos nos outros passos e escrevendo o campo

F → ( x , y ) = x 2 + 3 x 2 y 2 , 2 x 3 y + x 2

em função das variáveis de cada parametrização, temos:

I = ∫ 2 - 2 x 2 + 3 x 2 4 - x 2 2 , 2 x 3 4 - x 2 + x 2 ( 1 , - 2 x ) d x + ∫ - 2 2 x 2 , x 2 1,0 d x

Para a primeira integral, temos:

∫ 2 - 2 x 2 + 3 x 2 4 - x 2 2 - 4 x 4 4 - x 2 - 2 x 3 d x

= ∫ 2 - 2 49 x 2 - 2 x 3 - 40 x 4 + 7 x 6 d x =

= 49 x 3 3 - x 4 2 - 8 x 5 + x 7 2 - 2 =

= - 16 49 3 + 64 8 - 256 = - 16 3

Para a segunda integral:

∫ - 2 2 x 2 d x

= x 3 3 - 2 2 =

= 8 3 - - 8 3 = 16 3

Logo:

I = ∫ p   F . d r + ∫ r   F . d r = - 16 3 + 16 3 = 0

Ótimo, encontramos a mesma coisa : )

Resposta

  1. 0
  2. 0

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