Questão 1. Use o Teorema de Green e calcule a integral de linha ao longo da orientação positiva da curva dada.

(c) ∫ C sin ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y , C é a elipse x 2 + x y + y 2 = 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi pedido para usarmos o teorema de Green no cálculo da integral dada por

∫ C sin ⁡ y d x + x cos ⁡ y d y ,     C ∈ x 2 + x y + y 2 = 1

E aí, como fazemos isso? 🤔

O teorema de Green é dado por

∫ C p x , y d x + q x , y d y = ∫ ∫ A ∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y d A

Onde A é a área da curva C fechada.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

No nosso caso, p x , y = sin ⁡ y e q x , y = x cos ⁡ y ...

Derivando q em relação a x e p em relação a y , vamos obter

∂ q ∂ x = ∂ x cos ⁡ y ∂ x = cos ⁡ y

∂ p ∂ y = ∂ sin ⁡ y ∂ y = cos ⁡ y

Aplicando o teorema de Green, temos

∫ C p x , y d x + q x , y d y = ∫ ∫ A cos ⁡ y - cos ⁡ y d A

∫ C p x , y d x + q x , y d y = ∫ ∫ A 0 d A

Como a função de integração é 0 , certamente o resultado dessa integral é 0 !

∫ C p x , y d x + q x , y d y = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ C p x , y d x + q x , y d y = 0

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