Considere o campo vetorial F x , y = 5 - x y - y 2 , x 2 - 2 x y em R 2 .

Calcule

∮ C   F . d r

Onde C é o quadrado de vértices ( 0,0 ) , ( 1,0 ) , ( 1,1 ) , ( 0,1 ) , percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Bem, como a região limitada por C é um quadrado (bem simples de se escrever em integral duplas), vamos tentar aplicar Green para ver no que dá:

∂ F 2 ∂ x = 2 x - 2 y

∂ F 1 ∂ y = - x - 2 y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 2 x - 2 y - - x - 2 y = 3 x

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa curva C . Temos isso aqui:

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido dentro dela, podemos escrever o seguinte:

∮ C   F . d r = ∬ R   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Ou seja:

∮ C   F . d r = 3 ∬ R   x d x d y

Passo 3

Agora vamos escrever essa região R na integral dupla, o que é bem tranquilo, porque se trata de um quadrado:

∮ C   F . d r = 3 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x d x d y

Resolvendo isso aí:

= 3 ∫ 0 1 x 2 2 0 1 d y =

= 3 2 ∫ 0 1 d y =

= 3 2

Resposta

3 2

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