Calcule a integral ∫ C F ∙ d r onde F x ,   y ,   z = ( 2 x y z 3 + y e x y ,   x 2 z 3 + x e x y ,   3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z ) e C é a curva parametrizada por r t = ( cos 3 ⁡ t , sin 5 ⁡ t ,   t ) , com 0 ≤ t ≤ π 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha ∫ C F ∙ d r , sabendo que F é uma função vetorial dada e C é a curva parametrizada por r t = ( cos 3 ⁡ t , sin 5 ⁡ t ,   t ) , com 0 ≤ t ≤ π 2 .

A primeira vista, a gente poderia pensar em calcular essa integral usando a definição de integral de linha:

∫ C F ∙ d r = ∫ a b F r t ∙ r ' t d t

Só que calcular F r t com a nossa função F x ,   y ,   z = ( 2 x y z 3 + y e x y ,   x 2 z 3 + x e x y ,   3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z ) iria gerar um troço muito complicado de resolver. Então, como a gente pode solucionar esse problema?

Bom, existe um Teorema Fundamental das integrai de linha, que nos diz que podemos avaliar a integral de linha de um campo conservativo (o campo vetorial gradiente da função potencial) simplesmente sabendo o valor de f nos pontos finais de C . Matematicamente, ele quer dizer isso aqui:

∫ C F ∙ d r = ∫ C ∇ f ∙ d r = f r b - f ( r a )

Então, o que nós precisamos fazer é verificar se o nosso campo vetorial �� conservativo (se o rotacional dele for nulo, já podemos dizer que é conservativo). Em seguida, vamos determinar uma função f cujo o gradiente ∇ f seja igual a nossa função F . Quere dizer, vamos determinar uma função tal que ∂ f ∂ x   = 2 x y z 3 + y e x y , ∂ f ∂ y = x 2 z 3 + x e x y e ∂ f ∂ z = 3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z . Pra a partir daí, calcular f r b - f ( r a ) usando os pontos finais de C na parametrização que ele nos deu ( 0 ≤ t ≤ π 2 ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando se o campo vetorial F = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = ( 2 x y z 3 + y e x y ,   x 2 z 3 + x e x y ,   3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z ) é conservativo. Fazemos isso calculando o rotacional da função e verificando se ele é nulo.

Assim, temos:

r o t   F = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y  

No nosso caso, F 1 = 2 x y z 3 + y e x y , F 2 = x 2 z 3 + x e x y e F 3 =   3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z . Calculando as derivadas parciais dessas componentes conforme a fómula do rotacional, temos:

r o t   F = ( 3 x 2 z 2 - 3 x 2 z 2 ,   6 x y z 2 - 6 x y z 2 ,   2 x z 3 + e x y + x y e x y - 2 x z 3 + e x y + x y e x y )

Subtraindo os termos:

r o t   F = 0

Portanto, o campo vetorial é conservativo.

Passo 3

Agora vamos determinar uma função tal que ∇ f = F , isso quer dizer que:

∂ f ∂ x   = 2 x y z 3 + y e x y

∂ f ∂ y = x 2 z 3 + x e x y

∂ f ∂ z = 3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z

Integrando a primeira equação em relação a x , temos:

∫ 2 x y z 3 + y e x y d x = 2 x 2 2 y z 3 + e x y

∫ 2 x y z 3 + y e x y d x = x 2 y z 3 + e x y

Então, a função f vai ser dada por:

f x ,   y ,   z = x 2 y z 3 + e x y + g ( y ,   z )

Onde g ( y ,   z ) é uma constante em relação a x , que a gente adiciona pra “compensar” o fato de estarmos integrando a função de três variáveis apenas em relação a x .

Agora vamos derivar essa expressão que encontramos para f em relação a y :

∂ f ∂ y = f y x ,   y ,   z = x 2 z 3 + x e x y + g y ( y ,   z )

Comparando com a derivada parcial em relação a y que nós definimos no início do passo ( ∂ f ∂ y = x 2 z 3 + x e x y ), temos:

x 2 z 3 + x e x y + g y y ,   z = x 2 z 3 + x e x y

Simplificando os termos semelhantes:

g y y ,   z = 0

Se a derivada da função g em relação a y é igual a zero, então ela é uma função apenas de z (porque é constante em realação a y ). Então, vamos ter:

g y ,   z = h ( z )

Passo 4

Então já podemos reescrever f x ,   y ,   z = x 2 y z 3 + e x y + g ( y ,   z ) como:

f x ,   y ,   z = x 2 y z 3 + e x y + h ( z )

Vamos agora derivar essa função em relação a z e comparar com ∂ f ∂ z = 3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z , pra ver se conseguimos encontrar quem é h ( z ) .

Derivando em relação z , temos:

∂ f ∂ z = f z x ,   y ,   z = 3 x 2 y z 2 + h ' ( z )

Comparando com a derivada parcial de f em relação a z que nós definimos antes, temos:

3 x 2 y z 2 + h ' z = 3 x 2 y z 2 + cos ⁡ z

Aí a gente pode cortar os termos semelhantes e temos:

h ' z = cos ⁡ z

Integrando em relação a z pra descobrir quem é h ' ( z ) :

∫ h ' z d z = ∫ cos ⁡ z   d z

→ h z = sin ⁡ z + k

Onde k é uma constante de integração. Se nós tomarmos k = 0 , podemos reescrever f x ,   y ,   z = x 2 y z 3 + e x y + h ( z ) assim:

f x ,   y ,   z = x 2 y z 3 + e x y + sin ⁡ z

Então, encontramos nossa função, que atende o requisito ∇ f = F .

Passo 5

Agora só falta a gente aplicar a função no Teorema fundamental para integrais de linha:

∫ C F ∙ d r = ∫ C �� f ∙ d r = f r b - f ( r a )

Como o enunciado nos deu uma parametrização r t = ( cos 3 ⁡ t , sin 5 ⁡ t ,   t ) com ponto inicial a = 0 e ponto final b = π 2 , vamos aplicar a função encontrada nesses pontos (que correspondem aos pontos finais da curva C , sobre a qual estamos integrando).

Assim, temos:

r b = r π 2 = cos 3 ⁡ π 2 , sin 5 ⁡ π 2 , π 2 = 0 ,   1 , π 2

r a = r 0 = cos 3 ⁡ 0 , sin 5 ⁡ 0 , 0 = ( 1 ,   0 ,   0 )

Agora, para obter o valor da integral, aplicamos esses pontos na função f x ,   y ,   z = x 2 y z 3 + e x y + sin ⁡ z :

f r b = f 0 ,   1 , π 2 = 0 2 1 π 2 3 + e 0 1 + sin ⁡ π 2 = 0 + e 0 + 1

f r b = 1 + 1 = 2

E

f r a = f ( 1 ,   0 ,   0 ) = ( 1 ) 2 0 0 3 + e 1 0 + sin ⁡ 0 = 0 + e 0 + 0

f r a = 1

Finalmente, aplicando na integral:

∫ C ∇ f ∙ d r = f r b - f ( r a )

∫ C ∇ f ∙ d r = 2 - 1 = 1

E, portanto, ∫ C F ∙ d r = 1 .

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∫ C F ∙ d r = 1

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