1. Seja D uma região limitada de R 2 com D e ∂ D satisfazendo as hipóteses do Teorema de Green. Mostre que a área de D é
  2. Á r e a   D = ∮ ∂ D x d y = ∮ ∂ D - y d x

  3. Usando (a) calcule a área de

  i   D = x , y ∈ R 2 : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ;  

( i i ) D = x , y ∈ R 2 : x 2 / 3 + y 2 / 3 ≤ a 2 / 3

Passo 1

O Teorema de Green relaciona o cálculo de integrais de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

No seu caso, você está interessado em mostrar que a área da região D pode ser calculada usando o teorema de Green.

A notação é usada para denotar uma integral de linha fechada.

O Teorema de Green afirma que, se   ∂ D é uma curva fechada suave (com orientação positiva) que delimita a região D , e as funções P x , y   e   Q ( x , y ) têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém D ,   então:

∮ ∂ D   ( P   d x   +   Q   d y ) = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

onde d A é um elemento de área em D

Passo 2

No seu caso, você deseja mostrar que a área de D pode ser calculada utilizando a integral de linha

  ( ∮ ∂ D ( - y d x )

Vamos escolher P ( x ,   y )   =   0   e   Q ( x ,   y )   =   - y .

A derivada parcial de Q em relação a x é ∂ Q / ∂ x = 0 a derivada parcial de P em relação a y   ∂ P / ∂ y = 0

Portanto, a expressão da integral dentro da integral dupla no Teorema de Green se torna:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 - 0 = 0

Isso significa que a integral de linha ∮ ∂ D ( - y d x ) é igual a zero.

Passo 3

No entanto, a integral de linha ∮ ∂ D ( - y d x ) representa a integral de linha do componente Q ao redor da curva ∂ D o que significa que estamos calculando a integral de Q (ou seja, - y ao longo da curva ∂ D

Uma integral de linha que resulta em zero sugere que a integral de Q   o u   - y ao longo da curva ∂ D   está se cancelando, o que indica que a curva ∂ D é uma curva fechada que não possui "fluxo líquido" na direção   Q .

Em outras palavras, a integral de - y   ao longo da curva ∂ D é equivalente a calcular a área de D

Portanto, a área de D é de fato dada por:

Á r e a D =   ∮ ∂ D ( - y d x )

Essa é uma interpretação geométrica do Teorema de Green quando aplicado à função Q x , y = - y .

Isso permite calcular a área de D através da integral de linha ∮ ∂ D ( - y d x ) ao longo da curva ∂ D .

Resposta

Vide a explicação

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