1. Seja D uma região limitada de R 2 com D e ∂ D satisfazendo as hipóteses do Teorema de Green. Mostre que a área de D é
  2. Á r e a   D = ∮ ∂ D x d y = ∮ ∂ D - y d x

  3. Usando (a) calcule a área de

  i   D = x , y ∈ R 2 : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ;  

( i i ) D = x , y ∈ R 2 : x 2 / 3 + y 2 / 3 ≤ a 2 / 3

Passo 1

O Teorema de Green relaciona o cálculo de integrais de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.

No seu caso, você está interessado em mostrar que a área da região D pode ser calculada usando o teorema de Green.

A notação é usada para denotar uma integral de linha fechada.

O Teorema de Green afirma que, se   ∂ D é uma curva fechada suave (com orientação positiva) que delimita a região D , e as funções P x , y   e   Q ( x , y ) têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém D ,   então:

∮ ∂ D   ( P   d x   +   Q   d y ) = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

onde d A é um elemento de área em D

Passo 2

No seu caso, você deseja mostrar que a área de D pode ser calculada utilizando a integral de linha

  ( ∮ ∂ D ( - y d x )

Vamos escolher P ( x ,   y )   =   0   e   Q ( x ,   y )   =   - y .

A derivada parcial de Q em relação a x é ∂ Q / ∂ x = 0 a derivada parcial de P em relação a y   ∂ P / ∂ y = 0

Portanto, a expressão da integral dentro da integral dupla no Teorema de Green se torna:

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 0 - 0 = 0

Isso significa que a integral de linha ∮ ∂ D ( - y d x ) é igual a zero.

Passo 3

No entanto, a integral de linha ∮ ∂ D ( - y d x ) representa a integral de linha do componente Q ao redor da curva ∂ D o que significa que estamos calculando a integral de Q (ou seja, - y ao longo da curva ∂ D

Uma integral de linha que resulta em zero sugere que a integral de Q   o u   - y ao longo da curva ∂ D   está se cancelando, o que indica que a curva ∂ D é uma curva fechada que não possui "fluxo líquido" na direção   Q .

Em outras palavras, a integral de - y   ao longo da curva ∂ D é equivalente a calcular a área de D

Portanto, a área de D é de fato dada por:

Á r e a D =   ∮ ∂ D ( - y d x )

Essa é uma interpretação geométrica do Teorema de Green quando aplicado à função Q x , y = - y .

Isso permite calcular a área de D através da integral de linha ∮ ∂ D ( - y d x ) ao longo da curva ∂ D .

Resposta

Vide a explicação

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 �� ��a ( 2,6 ) a 2,0 a
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x