Questão 1. Use o Teorema de Green e calcule a integral de linha ao longo da orientação positiva da curva dada.

(a) ∫ C e y d x + 2 x e y d y , C é o quadrado com lados x = 0 , x = 1 , y = 0 e y = 1 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi pedido para usarmos o teorema de Green no cálculo da integral dada por

∫ C e y d x + 2 x e y d y ,     C ∈ 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1

E aí, como fazemos isso? 🤔

O teorema de Green é dado por

∫ C p x , y d x + q x , y d y = ∫ ∫ A ∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y d A

Onde A é a área da curva C fechada.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

No nosso caso, p x , y = e y e q x , y = 2 x e y ...

Derivando q em relação a x e p em relação a y , vamos obter

∂ q ∂ x = ∂ 2 x e y ∂ x = 2 e y

∂ p ∂ y = ∂ e y ∂ y = e y

Aplicando o teorema de Green, temos

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ ∫ A 2 e y - e y d A

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ ∫ A e y d A

Definindo os limites de A , vemos que foi dado no enunciado que a região de integração é um quadrado com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Aplicando esses limites de integração no teorema...

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 e y d x d y

Como não há x para ser integrado, podemos simplesmente multiplicar a função de integração pela variação dos limites de integração de x

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ 0 1 e y 1 - 0 d y

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ 0 1 e y d y

Integrando em y ...

∫ e y d y = e y

∫ 0 1 e y d y = e 1 - e 0

Portanto, temos

∫ C e y d x + 2 x e y d y = e - 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ C e y d x + 2 x e y d y = e - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem