Questão 1. Use o Teorema de Green e calcule a integral de linha ao longo da orientação positiva da curva dada.

(a) ∫ C e y d x + 2 x e y d y , C é o quadrado com lados x = 0 , x = 1 , y = 0 e y = 1 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi pedido para usarmos o teorema de Green no cálculo da integral dada por

∫ C e y d x + 2 x e y d y ,     C ∈ 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1

E aí, como fazemos isso? 🤔

O teorema de Green é dado por

∫ C p x , y d x + q x , y d y = ∫ ∫ A ∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y d A

Onde A é a área da curva C fechada.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

No nosso caso, p x , y = e y e q x , y = 2 x e y ...

Derivando q em relação a x e p em relação a y , vamos obter

∂ q ∂ x = ∂ 2 x e y ∂ x = 2 e y

∂ p ∂ y = ∂ e y ∂ y = e y

Aplicando o teorema de Green, temos

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ ∫ A 2 e y - e y d A

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ ∫ A e y d A

Definindo os limites de A , vemos que foi dado no enunciado que a região de integração é um quadrado com 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Aplicando esses limites de integração no teorema...

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 e y d x d y

Como não há x para ser integrado, podemos simplesmente multiplicar a função de integração pela variação dos limites de integração de x

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ 0 1 e y 1 - 0 d y

∫ C e y d x + 2 x e y d y = ∫ 0 1 e y d y

Integrando em y ...

∫ e y d y = e y

∫ 0 1 e y d y = e 1 - e 0

Portanto, temos

∫ C e y d x + 2 x e y d y = e - 1

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ C e y d x + 2 x e y d y = e - 1

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