Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2014.1, Questão 3

Considere o caminho C que delimita a região do plano limitada pelas linhas de equação y = x 2 e x = y 2 e percorrido no sentido anti-horário.

  1. Usando a definição, calcule a integral de linha
  2. C x 2 y d x + y + x y 2 d y

    (não precisa resolver a integral)

  3. Calcule a integral do item a , agora usando o teorema de Green

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui é entender como é essa limitação da região. Para isso vamos ver onde as duas equações se cruzam

y = x 2

x = y 2

Substituindo o valor de x da segunda equação na primeira vamos ter

y = y 2 2

y = y 4

y 4 - y = 0

y y 3 - 1 = 0

y = 0         o u         y 3 - 1 = 0

y = 0         o u         y 3 = 1

y = 0         o u         y = 1

Então as equações vão se cortar em y = 0 e y = 1 , os pontos vão ser

y = 0 x = 0 2 = 0

y = 1 x = 1 1 = 1

Então eles se cortam nos pontos 0,0 e 1,1 . Vamos ver como fica o gráfico disso

A curva azul é y = x 2 e a curva vermelha é x = y 2 .

Como ele quer no sentido anti-horário devemos seguir por C 1 e - C 2 onde C 1 é a curva azul indo de 0,0 até 1,1 e C 2 é a curva vermelha indo de 0,0 até 1,1 , colocamos o para mudar o sentido de C 2 e rodar tudo no sentido anti-horário.

Vamos ter

C x 2 y d x + y + x y 2 d y = C 1 x 2 y d x + y + x y 2 d y - C 2 x 2 y d x + y + x y 2 d y

A outra coisa que precisamos perceber é que a integral de linha é da função F

F x , y = x 2 y , y + x y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com C 1 , primeiro precisamos parametrizar a curva C 1

Vamos fazer

x = t

y = t 2

C 1 t = t , t 2

Com

t 0,1

Derivando isso vamos ter

C 1 ' t = 1,2 t

A integral vai ficar

C 1 x 2 y d x + y + x y 2 d y = C 1 F C 1 t C 1 ' t d t = 0 1 t 2 t 2 , t 2 + t . t 2 2 1,2 t d t

0 1 t 4 , t 2 + t . t 4 1,2 t d t = 0 1 t 4 , t 2 + t 5 1,2 t d t = 0 1 t 4 + 2 t 3 + 2 t 6 d t

Ele disse para não calcular a integral, então vamos deixar assim.

Passo 3

Vamos fazer agora aquela integral de C 2 , primeiro precisamos parametrizar a curva C 2

Vamos fazer

x = t 2

y = t

C 2 t = t 2 , t

Com

t 0,1

Derivando isso vamos ter

C 2 ' t = 2 t , 1

A integral vai ficar

C 1 x 2 y d x + y + x y 2 d y = C 1 F C 2 t C 2 ' t d t = 0 1 t 2 2 t , t + t 2 . t 2 2 t , 1 d t

0 1 t 4 t , t + t 4 2 t , 1 d t = 0 1 t 5 , t + t 4 2 t , 1 d t = 0 1 2 t 6 + t + t 4 d t

Ele disse para não calcular a integral, então vamos deixar assim.

Passo 4

A nossa integral de linha vai ficar

C x 2 y d x + y + x y 2 d y = 0 1 t 4 + 2 t 3 + 2 t 6 d t - 0 1 2 t 6 + t + t 4 d t

Como os limites de integração são iguais podemos juntar essas integrais

0 1 t 4 + 2 t 3 + 2 t 6 - 2 t 6 + t + t 4 d t = 0 1 t 4 + 2 t 3 + 2 t 6 - 2 t 6 - t - t 4 d t = 0 1 2 t 3 - t d t

E essa é a integral que teríamos que fazer, mas ele não quer que faça quer que deixe indicado só.

Passo 5

b )

Como a função F é contínua nessa região A podemos fazer aplicar o teorema de Green.

C x 2 y d x + y + x y 2 d y = A F 2 x - F 1 y d A

Vamos achar aquele termo ali dentro, lembrando que

F 2 = y + x y 2

F 1 = x 2 y

Vamos as derivadas

F 2 x = y 2

E

F 1 y = x 2

A integral dupla vai ficar

A y 2 - x 2 d A

Vamos entender como é a região A , já vimos o seu gráfico

Repara que vamos ter x indo de 0 à 1 enquanto y vai da função azul até a função vermelha.

Vamos ver como são essas duas funções em y

Função azul

y = x 2

A função vermelha

x = y 2

y = x

A região A vai ser

A = x , y R 2 0 x 1 , x 2 y x

Passo 6

A integral vai ficar

A y 2 - x 2 d A = 0 1 x 2 x y 2 - x 2 d y d x

Vamos à integral

0 1 x 2 x y 2 - x 2 d y d x = 0 1 y 3 3 - x 2 y y = x 2 x d x

0 1 x 3 3 - x 2 x - x 2 3 3 - x 2 x 2 d x

0 1 x 1 / 2 3 3 - x 2 x 1 / 2 - x 6 3 - x 4 d x

0 1 x 3 / 2 3 - x 2 + 1 / 2 - x 6 3 - x 4 d x

0 1 x 3 / 2 3 - x 5 / 2 - x 6 3 - x 4 d x

0 1 x 3 / 2 3 - x 5 / 2 - x 6 3 + x 4 d x

x 5 / 2 3 5 / 2 - x 7 / 2 7 / 2 - x 7 3 7 + x 5 5 x = 0 x = 1

x 5 / 2 3 2 5   - 2 7 x 7 / 2 - x 7 21 + x 5 5 x = 0 x = 1

2 x 5 / 2 15   - 2 7 x 7 / 2 - x 7 21 + x 5 5 x = 0 x = 1

2 . 1 5 / 2 15   - 2 7 1 7 / 2 - 1 7 21 + 1 5 5 - 2 . 0 5 / 2 15   - 2 7 0 7 / 2 - 0 7 21 + 0 5 5

2 15   - 2 7 - 1 21 + 1 5 - 0

2 15   - 2 7 - 1 21 + 1 5

14 - 30 - 5 + 21 105 = 35 - 35 105 = 0

Resposta

  1. 0 1 2 t 3 - t d t
  2. 0

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