Calcular ∫ C x 2 y d x + x 2 - y 2 d y   , onde C é o arco de y = 3 x 2 desde (0,0) até (1,3)

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Nesta questão ele pede para calcular essa integral dada que vale ∫ C x 2 y d x + x 2 - y 2 d y   , onde C é o arco de (0,0) até (1,3)

Passo 2

Se desenharmos a função pelos limites dados temos ,

E ai se percebermos bem vamos ver que esse assunto se trata de teorema de green e que a formula para trabalharmos com ela é

∫ γ P d x + Q d y = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

E derivando por ∂   Q ∂ x   e ∂ P ∂ y

∂ P ∂ y = x 2 y = x 2

∂ Q ∂ x = x 2 - y 2 = 2 x

Passo 3

Com isso vamos ter que

∫ ∫ D 2 x - x 2 d A   = ∫ 0 π ∫ 1 3 2 x - x 2 . 3 x 2 d x d θ =   ∫ 0 π ∫ 1 3 6 x 3 - 3 x 4 d x d θ = ∫ 0 π 6 x 4 4 - 3 x 5 5 1 3 d θ = - 249 10 π

Resposta

- 249 10 π

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