Usando o Teorema de Green, calcule a área da região do plano R 2 limitada pela curva C dada por r t = cos ⁡ t i + s e n 3 t j , 0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi dada uma curva C parametrizada como r t = cos ⁡ t i + s e n 3 t j , onde t varia entre 0 e 2 π .

Nosso objetivo é calcular a área dessa curva C a partir do Teorema de Green.

Ok, mas como fazemos isso?? 🤔🤔

Primeiro, temos que confirmar se C é uma curva fechada, isso acontece quando r t i n i c i a l = r t f i n a l .

Se t varia de 0 a 2 π , t i n i c i a l = 0 e t f i n a l = 2 π , logo

cos ⁡ 0 i + s e n 3 0 j = cos ⁡ 2 π i + s e n 3 2 π j

1 i + 0 j = 1 i + 0 j

Com isso provamos que a curva C é fechada.

Dessa forma, podemos arbitrar um campo F em que ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 para calcular a área

Isso porque o Teorema de Green é dado por

∮ C F d r = ∬ C ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y A r e a C d x d y

Ou seja, para satisfazer o campo F que definimos, podemos usar F = 0 , x

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Podemos reescrever a integral fechada de F como

∮ C F d r = ∫ t 0 t f F r t · r ' t d t

Derivando r t , temos

r ' t = d cos ⁡ t d t i + d s e n 3 t d t j

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a derivada do cos ⁡ x é igual a - s e n x , logo a derivada de s e n x é igual a cos ⁡ x e pela regra da cadeia, a derivada de s e n 3 t é dada pela derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

r ' t = d cos ⁡ t d t i + d 3 t d t d s e n u d u j

r ' t = - s e n t i + 3 cos ⁡ u j

Substituindo u por 3 t de volta

r ' t = - s e n t i + 3 cos ⁡ 3 t j

Agora substituímos r t em F

f r t = 0 , cos ⁡ t

Dessa forma, nossa integral é dada como

∫ t 0 t f F r t · r ' t d t

∫ 0 2 π 0 , cos ⁡ t · - s e n t , 3 cos ⁡ 3 t d t

Calculando o produto interno, temos

∫ 0 2 π 0 . s e n t + 3 cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t

∫ 0 2 π 3 cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Agora calculamos essa integral.

Para a integral de 3 cos ⁡ t cos ⁡ 3 t , vamos reescrever essa função de integração como

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

Se fizermos a = 3 t e b = t , temos

3 cos ⁡ t cos ⁡ 3 t = 3 1 2 cos ⁡ 4 t + cos ⁡ 2 t

Substituindo na integral

∫ 0 2 π 3 cos ⁡ t cos ⁡ 3 t d t = ∫ 0 2 π 3 2 cos ⁡ 4 t + cos ⁡ 2 t d t

Reescrevendo as integrais, temos

*   3 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 4 t d t + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t d t

Para a integral de cos ⁡ 4 t podemos fazer u = 4 t e d u = 4 d t , ou d y = d u 4

∫ cos ⁡ u 4 d u = s e n u 4

Voltando u para 4 t

∫ cos ⁡ 4 t d t = s e n 4 t 4

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π cos ⁡ 4 t d t = s e n 4 2 π 4 - s e n 4 0 4 = 0

Fazendo o mesmo para a integral de cos ⁡ 2 t , vamos chegar em

∫ cos ⁡ 2 t = s e n 2 t 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t d t = s e n 2 2 π 2 - s e n 2 0 2 = 0

Substituindo os resultados em *

3 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ 4 t d t + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t d t = 0

Portanto, a área da curva C é 0 .

Incrível, não é? 😁

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

A r e a C = 0

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