Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 16a

16) Calcule as seguintes integrais:

a)

C   2 y + 1 + x 5 3 d x + 5 x - e y 2 d y

onde C é a circunferência x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando:

F x ,   y = 2 y + 1 + x 5 3 ,   5 x - e y 2

é muito complicado, uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema. Mas, para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

F 2 x - F 1 y

As derivadas parciais são...

F 2 x = 5 x - e y 2 x = 5

F 1 y = 2 y + 1 + x 5 3 y = 2

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F 2 x - F 1 y = 5 - 2 = 3

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma curva C fechada delimitando a região D .

2º - A curva C , orientada positivamente.

3º - Um campo F sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

1º - Precisamos de uma curva C fechada e delimitando uma região D . Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é uma circunferência de raio 2 ...

Onde a região D é o círculo:

2º - E mais, ela está orientada positivamente sim!!! Quando o problema não nos fala nada sobre a orientação, assumimos que é no sentido anti-horário, portanto positivamente

- O campo F que estamos trabalhando...

F x ,   y = 2 y + 1 + x 5 3 ,   5 x - e y 2

Não tem um problema em nenhum lugar, o que nos garante que ele já está sem singularidades !

Passo 4

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla e beijinho no ombro ;)

Substituindo...

C   F d r = D   3   d A =

3 D     d A

Epa! O que é uma integral dupla de 1 d A ? sim! É a área da região D

3 D   d A = 3 Á r e a D =

3 π r 2

Como o raio é 2 ...

C   F d r = 2 D   d A = 12 π

Resposta

a )     12 π

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