Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

CEFET - Cálculo Vetorial - Lista 2 Thomé - 4

Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y , onde C é a fronteira da região entre y = x 2 e y = x , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos esboçar a região para entender melhor o problema. Temos uma reta y = x e uma parábola y = x 2 :

Para podermos aplicar o Teorema de Green, orientamos positivamente a curva.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular F 2 x - F 1 y

Temos

F x , y = e x + y 2 , e y + x 2

F 2 x - F 1 y = ( e y + x 2 ) x - ( e x + y 2 ) y = 2 x - 2 y

Passo 3

Agora vamos montar a integral dupla, utilizando o Teorema de Green:

C e x + y 2 d x + e y + x 2 d y = 2 D x - y   d x d y

Onde D é a região limitada pela curva C , que vimos lá em cima.Vamos, então, descrever essa região para reescrever essa integral dupla em iterada. Temos que y varia entre y = x e a parábola y = x 2 e 0 x 1 .

Nossa integral passa a ser então:

2 0 1 x 2 x x - y   d y d x

Passo 4

Começaremos integrando em relação a y :

= 2 0 1 x y - y 2 2 x 2 x d x =

= 2 0 1 x 2 - x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= 2 0 1 x 2 2 - x 3 + x 4 2 d x =

Passo 5

Agora em relação a x :

= 2 x 3 6 - x 4 4 + x 5 10 0 1

= 2 1 6 - 1 4 + 1 10

= 1 3 - 1 2 + 1 5

= 1 30

Resposta

1 30

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