Calcule a integral de linha ∫ C e x 3 + y 2 d x + ( x + y 5 ) d y onde C é o bordo da região delimitada por x = y 2 + 1 e   x = 5 , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Opa! Esse problema nos pede para calcular uma integral de linha

∫ C e x 3 + y 2 d x + ( x + y 5 ) d y

Ao longo de uma curva delimitada por x = y 2 + 1 ,   x = 5 e orientada no sentido anti-horário. Beleza! Vamos desenhar essa curva doida aí. Como vamos ter x = y 2 + 1 temos uma parábola deitada como nessa figura aqui:

x = 5 é uma reta vertical no valor 5 de x . Juntando essas curvas e orientando a curva no sentido anti-horário temos essa representação aqui:

Passo 2

Olha, a integral que o exercício nos dá a gente pode escrever dessa forma aqui

∫ C e x 3 + y 2 d x + x + y 5 d y = ∫ C P x , y d x + Q x , y d y

Com

P x , y =   e x 3 + y 2 Q x , y =   x + y 5    

Como a gente representou a curva C e viu que ela é uma curva fechada orientada no sentido anti-horário vai ser uma boa usar o teorema de Green:

∫ C P x , y d x + Q x , y d y = ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Onde D é a área do interior da curva C . Essas derivadas parciais a gente já consegue calcular

∂ Q ∂ x =   ∂ x + y 5 ∂ x = 1 ∂ P ∂ y =   ∂ ( e x 3 + y 2 ) ∂ y = 2 y

Então o teorema de Green nos dá

∫ C P x , y d x + Q x , y d y = ∫ ∫ D 1 - 2 y d A

Passo 3

Agora a gente tem que trazer essa integral

∫ ∫ D 1 - 2 y d A

Para algo que a gente consiga resolver. É uma integral dupla e a região de integração é compreendida por

- 2 ≤ y ≤ 2 y 2 + 1 ≤ x ≤ 5

Isso nos diz que a região D é uma região do tipo 2 e por isso temos d A = d x d y . Nossa integral fica assim

∫ ∫ D 1 - 2 y d A =   ∫ - 2 2 ∫ y 2 + 1 5 ( 1 - 2 y ) d x d y

Passo 4

Nossa integral virou uma integral iterada, então a gente pode começar resolvendo a integral de dentro (integral em x) primeiro:

∫ y 2 + 1 5 1 - 2 y d x = 1 - 2 y .   x y 2 + 1 5 = 1 - 2 y .   5 - y 2 + 1 = 1 - 2 y .   5 - y 2 - 1 = 1 . 5 - y 2 - 1 - 2 y .   5 - y 2 - 1 = 5 - y 2 - 1 - 10 y + 2 y 3 + 2 y  

Então a gente obteve

∫ y 2 + 1 5 ( 1 - 2 y ) d x = 2 y 3 - y 2 - 8 y + 4

Passo 5

Usando esse resultado na nossa integral temos

∫ - 2 2 ∫ y 2 + 1 5 1 - 2 y d x d y =   ∫ - 2 2 2 y 3 - y 2 - 8 y + 4 d y

Finalmente, resolvendo as integrais em y

= 2 y 4 4 - y 3 3 - 8 y 2 2 + 4 y - 2 2 =   y 4 2 - y 3 3 - 4 y 2 + 4 y - 2 2 = 2 4 2 - 2 3 3 - 4 . 2 2 + 4.2 - - 2 4 2 - - 2 3 3 - 4 - 2 2 + 4 . - 2 = 8 - 8 3 - 16 + 8 - 8 + 8 3 - 16 - 8 = 16 - 16 3 = 32 3

Resposta

32 3

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