Teorema de Green
Calcule , em que
E é a fronteira orientada positivamente de uma região que tem área .
Passo 1
Bom, como o problema nem nos dá a expressão da curva em que queremos fazer a integral de linha, já sabemos que só podemos calcular isso aí por Green, certo? É o que vamos fazer então:
Temos então
Passo 2
Beleza, agora precisamos calcular
Temos:
Como encontramos uma expressão relativamente simples, isso quer dizer que estamos no caminho certo!
Passo 3
Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:
Passo 4
Bom, como sabemos que a integral dupla de em uma região nos dá a área dessa região, podemos escrever:
Já que o enunciado nos diz que essa área é igual a , temos:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos x , x 2 + 2 y sen x C é o triangulo de 0,0 a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,
Ver Mais
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Ver Mais
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Ver Mais
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Ver Mais
Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem
Ver Mais