Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada pela curva plana fechada determinada pelo seguinte par de curvas: y = x 3 - x   e y = x 2 - 1 .

Passo 1

O enunciado pede pra usar o teorema de Green para o cálculo de área, então vamos relembrar como que fica isso.

O teorema de Green nos diz que:

∮ ∂ D   F 1 d x + F 2 d y =   ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

E sabemos que o podemos encontrar a área pela integral dupla:

A D = ∬ D d x d y

Então, basicamente, o que temos que fazer pra ligar as coisas é:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∬ D d x d y → ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

O campo mais simples que satifaz essa condição seria:

F → x , y = 0 , x

Passo 2

Vamos agora observar a interseção entre essas curvas

  y = x 3 - x  

  y = x 2 - 1

x x 2 - 1 = x 2 - 1

x = 1   o u - 1

Então, a curva C ,   vai ser a união da curva C 1   e   C 2 .

A parametrização da C 1   fica

r 1 t = t ,   t 3 - t →   - 1 ≤ t ≤ 1

Observe que estamos gurando no sentido contrário para manter a orientação positiva.

E a parametrização de C 2 fica

r 2 t = t , t 2 - 1 →   - 1 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Então o que vamos calcular é:

∬ D d x d y = ∮   F 1 d x + F 2 d y =

Nosso campo F   escolhido foi o ( 0 , x ) , logo ficamos com

∫ C F 2 d y =   ∫ C 1 x   d y + ∫ C 2 x   d y

Com tudo isso, a área será determinada então por:

A = ∫ C 1 x   d y + ∫ C 2 x   d y

Calculando então

∫ F → x t , y t . r 1 → ' t   d t

r ' 1 t = 1 ,   3 t 2 - 1

Lembtando que F = 0 , x . Escrevendo em função da parametrização ficamos com F r t = ( 0 , t )

∫ C 1 x   d y =   ∫ 1 - 1 ( 0 , t ) ( 1,3 t 2 - 1 ) d t

∫ 1 - 1 t   3 t 2 - 1 d t = 3 t 4 4 - t 2 2 1 - 1 = 0

Calculando agora

∫ C 2 x   d y

Onde r 2 t = t , t 2 - 1

r 2 ' t = ( 1,2 t )

∫ C 1 x   d y =   ∫ - 1 1 ( 0 , t ) ( 1,2 t ) d t

∫ - 1 1 2 t 2   d t = 4 3

Resposta

4 3

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