Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮ γ x 2   y d x + x y 3     d y , onde γ é o quadrado de vértices 0,0 ,   1,0 ,   1,1   e   0,1 , orientado positivamente.
  2. ∮ γ ( x + 2 y ) d x + ( x - 2 y ) d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 0,0   a   1,1 , e do segmento de reta de 1,1 a   0,0 ,   orientada positivamente.
  3. ∮ γ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮ γ x 2 d x + y 2 d y , onde γ é a curva x 6 + y 6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮ γ x y d x + 2 x 2 d y , γ consiste do segmento de uma reta unindo - 2,0   a   ( 2,0 ) e da semicircunferência x 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 , orientada positivamente.
  6. ∮ γ 2 x y d x + x 2 d y , onde γ é cardióide ρ = 1 + cos ⁡ θ , orientado positivamente.
  7. ∮ γ ( x y + e x 2 ) d x + x 2 - ln ⁡ 1 + y d y , consiste do segmento de reta de   0,0   a   ( π , 0 ) e do ardo da curva y = s e n   x , orientada positivamente.
  8. ∮ γ F → ⋅ d → , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + x y 2 j → e γ consiste do arco da circunferência x 2 + y 2 - 4     d e   2,0   a   2 ,   2 ,   e dos segmentos de reta de 2 , 2   a   0,0   e   d e   0,0   a   ( 2,0 ) .

Passo 1

Vamos recalcular a integral de linha.

Dada a curva γ que consiste do segmento de uma reta de - 2,0   a   2,0 e da semicircunferência ( x 2 +   y 2 =   4 ) onde y ≥   0 , orientada positivamente, e a função ( F   =   x y   d x   +   2 x 2 d y ) , queremos calcular a integral de linha ( ∮ γ F ⋅   d r ) .

Vamos dividir a curva γ em duas partes: γ 1 é o segmento de reta e γ 2 é a semicircunferência.

P a r a   γ 1 :

Parametrizamos γ 1 como r 1 t = x t , y t = ( t , 0 ) onde t varia de - 2   a   2 .

Passo 2

Calculamos a integral de linha ao longo de γ 1 :

∫ γ 1 F ⋅ d r   =   ��� - 2 2 x y i + 2 x 2 j ⋅ d x ,   d y =   ∫ - 2 2 ( t x   ⋅ 1   +   2 t 2 ⋅ 0 )   d t =   ∫ - 2 2 t x d t   =   0

P a r a   γ 2 :

Parametrizamos γ 1 usando coordenadas polares como r 2 θ = x θ , y θ = 2 cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ θ   onde   θ varia de 0 a π

Passo 3

Calculamos a integral de linha ao longo de γ 2 :

∫ γ 2 F ⋅ d r   =   ∫ 0 π ( x y i + 2 x 2 j ) ⋅ - 2 s i n   θ d θ ,   2 c o s θ d θ =   ∫ 0 π - 4 s i n   θ c o s   θ +   8 c o s 2 θ d θ

Usando identidades trigonométricas, podemos simplificar a integral:

∫ 0 π - 4   s i n θ c o s   θ +   8 c o s 2 θ d θ =   0

A integral de linha ao longo de γ é zero.

Agora, somamos as integrais de linha ao longo de γ 1   e   γ 2

��� γ F ⋅ d r   =   ∫ γ 1 F ⋅ d r   +   ∫ γ 2 F ⋅ d r   =   0   +   0   =   0

Portanto, a resposta correta é de fato 0.

Resposta

0

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