Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

h) ∮ F → ∙ d r , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + ( x y 2 ) j → e γ consiste do arco de circunferência x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) a ( 2 , 2 ) e dos segmentos de reta de ( 2 ,   2 ) a ( 0,0 ) e de ( 0,0 ) a ( 2,0 ) .

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Yuri aqui e agora iremos calcular essa querida integral utilizando o famoso teorema de Green. O teorema de Gree diz o seguinte:

Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então

∫ c P d x + Q d y = ∫ ∫ ( ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ) d A

então vamos aplicar esse teorema para o nosso caso aqui.

Passo 2

Olá meu amigo, então iremos aqui aplicar o teorema de Green. Primeiro vamos aplica-lo a equação e depois iremos descobrir quem é a região dA.

∮ F → ∙ d r = ∫ ∫ y 2 - 2 y + x 2 d A

Então agora vamos dar uma olhada no dA

Agora iremos ser inteligentes, eu e voce meu caro colega, e iremos utilizar uma parametrização para trabalhar aqui

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

O nosso raio é

r = 2

O que resta é descobrirmos o valor de

θ

Para o ponto ( 2 ,   2 )

2 = 2 cos ⁡ θ

2 2 = cos ⁡ θ

Então

θ = π 4

Passo 3

Agora é hora de montar e calcular nossa integral

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 r 2 - 2 r sin ⁡ θ r d r d θ

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 r 3 - 2 r 2 sin ⁡ θ d r d θ

∫ 0 π 4 r 4 4 - 2 r 3 3 sin ⁡ θ 0 2 d θ

∫ 0 π 4 2 4 4 - 2 ( 2 3 ) 3 sin ⁡ θ 0 2 d θ

∫ 0 π 4 4 - 16 3 sin ⁡ θ d θ

4 π 4 + 16 3 cos ⁡ θ 4 - 0 + 16 3 cos ⁡ 0

= π - 16 - 8 2 3

Resposta

= π - 16 - 8 2 3

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