(Cap.16.4 - Exercício 11) Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

F → x , y = y ⋅ c o s x − x ⋅ y ⋅ s i n x ⋅ i → + x ⋅ y + x ⋅ c o s x ⋅ j → , C é o triângulo de 0,0   a   0,4   a   2,0   a   0,0

Passo 1

Oiii pessoal, tudo bem?

Bom nossa questão é bem direta,

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar encontrar quais são as funções que delimitam y ou x e integrar para esse intervalo.

Passo 2

Vamos fixar x e variar o y . Temos que a região fechada D é dada por 0 ≤ x ≤ 2 e a reta que delimita y na parte superior do triângulo é dada por y = 4 − 2 ⋅ x , tendo então que o mesmo varia da forma 0 ≤ y ≤ 4 − 2 ⋅ x . Vemos também que nossa curva C varia no sentido horário, logo para termos a variação no sentido positivo usaremos – C . Aplicando então o teorema de Green, ficamos com:

∫ − C F → ⋅ d r → = − ∫ ∫ D ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ⋅ d A

− ∫ ∫ D ∂ ∂ x x ⋅ y + x ⋅ c o s x − ∂ ∂ y y ⋅ c o s x − x ⋅ y ⋅ s i n x ⋅ d A

− ∫ 0 2 ∫ 0 4 − 2 ⋅ x y − x ⋅ s i n x + c o s x − c o s x + x ⋅ s i n x ⋅ d y ⋅ d x

− ∫ 0 2 ∫ 0 4 − 2 ⋅ x y ⋅ d y ⋅ d x = − ∫ 0 2 y 2 2 0 4 − 2 ⋅ x ⋅ d x = − ∫ 0 2 1 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ x 2 ⋅ d x

− ∫ 0 2 8 − 8 ⋅ x + 2 ⋅ x 2 ⋅ d x = − 8 ⋅ x − 4 ⋅ x 2 + 2 3 ⋅ x 3 0 2 = − 16 − 16 + 16 3 = − 16 3

Bora fazer mais questões?!

Bons Estudos!

Resposta

∫ − C F → ⋅ d r → = − 16 3

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