Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2014.2, Questão 4b

Diga se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique.

Se C é uma curva simples, fechada, orientada positivamente e que limita uma região plana R com área A e se a i ,   b i ∈ R , para i = 1,2 , 3 , então é sempre verdade que

∫ C   a 1 x + a 2 y + a 3 d x + ( b 1 x + b 2 y + b 3 ) d y = b 2 - a 1 A

Passo 1

Bom, se tem integral de linha relacionada com área, quer dizer que estamos falando de Green. Vamos aplicar ele então. Nosso campo é:

F x , y = a 1 x + a 2 y + a 3 ,   b 1 x + b 2 y + b 3

Então temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x b 1 x + b 2 y + b 3 = b 1

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y a 1 x + a 2 y + a 3 = a 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = b 1 - a 2

Como C está orientada positivamente, aplicando Green:

∫ C   a 1 x + a 2 y + a 3 d x + ( b 1 x + b 2 y + b 3 ) d y = b 1 - a 2 A ≠ b 2 - a 1 A

Na verdade, a afirmação do enunciado só vale quando b 1 - a 2 = b 2 - a 1 , portanto, é falsa.

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Resposta

Falsa.

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