Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2013.2, Questão 2a

Considere a integral de linha

I = C F d r

Onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 e F é o campo vetorial definido por F x , y = x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2

Calcule I usando obrigatoriamente o teorema de Green

Passo 1

Temos que usar o teorema de Green, já que ele disse que precisamos né? Rs, aquela integral de linha vai ficar

I = C F d r = D F 2 x - F 1 y d A

Onde D é a região que tem C como fronteira. Como C é fechada e a função F está definida em todo ponto fora a origem, e a origem não está na região D , podemos usar sem preocupação o teorema de Green.

Vamos calcular F 2 x - F 1 y , começando com as derivadas, usando a regra do quociente

F 2 x = x - y x 2 + y 2 = 0 x 2 + y 2 - 2 x - y x 2 + y 2 2 = 2 x y x 2 + y 2 2

E

F 1 y = y x x 2 + y 2 = 0 x 2 + y 2 - 2 x x x 2 + y 2 2 = - 2 x y x 2 + y 2 2

Vamos ter

F 2 x - F 1 y = 2 x y x 2 + y 2 2 - - 2 x y x 2 + y 2 2 = 2 x y x 2 + y 2 2 + 2 x y x 2 + y 2 2 = 4 x y x 2 + y 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A integral de linha vai ficar

I = C F d r = D 4 x y x 2 + y 2 2 d A

Temos que entender como é a região D

Repara que a região vai ser entre as circunferências de raio 1 e 2 , e limitada por x 0 e y 0 porque está no primeiro quadrante. Então a região fica assim

Como temos muitos x 2 + y 2 vamos usar coordenadas polares

Passo 3

Em coordenadas polares

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

Passo 4

Vamos ver os intervalos de r e θ . Como ele está entre uma circunferência e outra vamos ter

r 1,2

E como ele está limitado ao primeiro quadrante vamos ter

θ 0 , π 2

A integral vai ficar

D 4 x y x 2 + y 2 2 d A = 0 π 2 1 2 4 r cos θ r sen θ r cos θ 2 + r sen θ 2 2 r d r d θ

0 π 2 1 2 4 r 2 cos θ sen θ . r r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ 2 d r d θ

0 π 2 1 2 4 r 3 cos θ sen θ r 2 cos 2 θ + sen 2 θ 2 d r d θ

0 π 2 1 2 4 r 3 cos θ sen θ r 2 2 d r d θ

0 π 2 1 2 4 r 3 cos θ sen θ r 4 d r d θ

0 π 2 1 2 4 cos θ sen θ r d r d θ

Lembrando que 2 sen θ cos θ = sen 2 θ

0 π 2 1 2 2 sen 2 θ r d r d θ

Integrando

0 π 2 2 sen 2 θ ln r r = 1 2 d θ

0 π 2 2 sen 2 θ ln 2 - ln 1 d θ

0 π 2 2 sen 2 θ ln 2 d θ

2 ln 2 0 π 2 sen 2 θ d θ

Integrando

2 ln 2 - cos 2 θ 2 θ = 0 π 2

2 ln 2 - cos 2 π 2 2 - - cos 2 . 0 2 2

2 ln 2 - cos π 2 - - cos 0 2

2 ln 2 - - 1 2 - - 1 2

2 ln 2 1 2 + 1 2

2 ln 2 1

2 ln 2

Resposta

2 ln 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas