Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Use o Teorema de Green para calcular

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y

Onde C é o triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 1,2 , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Ele diz para gente usar o teorema de Green para calcular uma integral de linha vetorial sobre o triângulo com vértices 0,0 , 1,0 e 1,2 , orientado no sentido anti-horário. Vamos desenhar esse cara:

Então C é esse caminho que a gente desenhou e no sentido das setinhas.

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Passo 2

O Teorema de Green diz que a gente pode calcular a integral de F = F 1 , F 2   em uma curva δ D por essa relação:

∫ δ D F d r = ∫ ∫ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

Onde D é uma região e δ D é a curva fronteira dessa região. Só que ele tem umas condições para aplicar.

1. A nossa região precisa ser fechada: como a nossa região é limitada pelos lados do triângulo, ela tá fechada, belezinha.

2. A fronteira precisa ser percorrida no sentido positivo: Que sentido é esse? É só você imaginar que está andando na borda do triângulo no sentido das setinhas, sua região D precisa está à sua esquerda. E isso acontece no nosso triângulo ali. Daora!

3. F não pode ter descontinuidades dentro da nossa região. Aí a gente olha para o nosso F :

F x , y = F 1 , F 2 = x y , x 2 y 3

Ela realmente está bem definida para todo ( x , y ) . Não há nenhuma restrição no domínio. Então essa tá tranquilo também. Bora lá aplicar o Teorema!

Passo 3

Substituindo nele as coisas que a gente tem:

∫ δ D F d r = ∫ ∫ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = ∫ ∫ D ∂ x 2 y 3 ∂ x - ∂ x y ∂ y d A

Bora calcular esse integrando ali:

∂ x 2 y 3 ∂ x - ∂ x y ∂ y = 2 x y 3 - x

Passo 4

Nossa integral fica assim:

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = ∫ ∫ D 2 x y 3 - x d A

A ideia é calcular o valor da integral de linha calculando essa integral dupla na direita. Sendo que D é o nosso triângulo. Aí a gente precisa definir os extremos de integração para percorrer ele.

No eixo x , vemos que ele está entre:

0 ≤ x ≤ 1

Já no eixo y , ele é limitado por baixo por y = 0 e por cima pela reta que passa por ( 0,0 ) e ( 1,2 ) . Achando a equação dessa reta:

y - y 0 = m x - x 0

Sendo

m = Δ y Δ x = 2 - 0 1 - 0 = 2

E escolhendo

x 0 , y 0 = 0,0

y - 0 = 2 x - 0 ∴ y = 2 x

Aí dizemos que:

0 ≤ y ≤ 2 x

Nossa integral fica:

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = ∫ 0 1 ∫ 0 2 x 2 x y 3 - x d y d x

Repara que a gente vai integrar em relação a y primeiro porque ele está entre funções de x .

Passo 5

Agora é calcular essa belezura:

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = ∫ 0 1 ∫ 0 2 x 2 x y 3 - x d y d x

Nessa integral de dentro o x é considerado constante:

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = ∫ 0 1 2 x y 4 4 - x y 0 2 x d x = ∫ 0 1 2 x 2 x 4 4 - x ( 2 x ) d x

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = ∫ 0 1 32 x 5 4 - 2 x 2 d x = ∫ 0 1 8 x 5 - 2 x 2 d x

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = 8 x 6 6 - 2 x 3 3 0 1 = 8 6 - 2 3 = 2 3

Resposta

∫ C x y d x + x 2 y 3   d y = 2 3

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