Questão 2. Use o Teorema de Green para calcular ∫ C F · d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.

(b) F x , y = e x + x 2 y , e y - x y 2 , C é o círculo x 2 + y 2 = 25 com orientação positiva;

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema queremos aplicar o teorema de Green para calcular a integral da função F x , y = e x + x 2 y , e y - x y 2 em C , onde está é a região definida pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .

E aí, lembra como fazemos isso? 😁

Fazendo ∫ C F · d r onde F é uma função genérica dada por F x , y = p x , y , q x , y , temor

∫ C F · d r = ∫ C p x , y , q x , y · d x , d y

∫ C F · d r = ∫ C p x , y d x + q x , y d y

O teorema de Green é dado por

∫ C F · d r = ∫ C p x , y d x + q x , y d y = ∫ ∫ A ∂ q ∂ x - ∂ p ∂ y d A

Onde A é a área da curva C fechada.

Sacou? Bora lá! 😉

Passo 2

No nosso caso, p x , y = e x + x 2 y e q x , y = e y - x y 2 ...

Derivando q em relação a x e p em relação a y , vamos obter

∂ q ∂ x = ∂ e y - x y 2 ∂ x = - y 2

∂ p ∂ y = ∂ e x + x 2 y ∂ y = x 2

Aplicando o teorema de Green, temos

∫ C F · d r = ∫ C p x , y d x + q x , y d y = ∫ ∫ A - y 2 - x 2 d A

∫ C F · d r = - ∫ ∫ A x 2 + y 2 d A

Como C possui simetria polar, nada mais justo que convertermos nossas coordenadas para polares.

Nesse caso, a região é dada pela equação x 2 + y 2 = 25 , ou seja, uma circunferência de raio 5 , logo, os limites de integração serão em r de 0 a 5 e em θ de 0 a 2 π .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Como x = r c o s θ , y = r s e n θ , x 2 + y 2 = r 2 e J = r .

Fazendo a conversão do nosso problema, temos

∫ C F · d r = - ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 2 r d r d θ

∫ C F · d r = - ∫ 0 2 π ∫ 0 5 r 3 d r d θ

Integrando em r ...

∫ r 3 d r = r 4 4

∫ 0 5 r 3 d r = 5 4 4 - 0 = 625 4

Substituindo o resultado no teorema

∫ C F · d r = - ∫ 0 2 π 625 4 d θ = - 625 4 2 π - 0

∫ C F · d r = - 625 π 2

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ C F · d r = - 625 π 2

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