Calcule a integral de linha do campo vetorial F x , y = y 3 3 x + e cos ⁡ x ,   sen ⁡ y 3 + 1 ao longo da curva C , sendo C o bordo da região Ω definida pela interseção das seguinte regiões 3 x 2 ≥ π y , 3 x 2 ≤ 2 π y , y 2 ≥ 2 x e y 2 ≤ 4 x . Além disso, assumimos que C é orientada no sentido horário.

Passo 1

Temos 4 parábolas limitando a seguinte região:

Como a integral ao longo dessa curva parece complicada de se calcular pela definição, vamos aplicar o Teorema de Green. Como C está orientada negativamente, temos:

∫ C _   F ⋅ d r = ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∫ C   F ⋅ d r = - ∬ Ω   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Passo 2

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ y 3 + 1 = 0

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y y 3 3 x + e cos ⁡ x = 3 y 2 3 x = y 2 x

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = - y 2 x

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r = - ∬ Ω   - y 2 x d x d y = ∬ Ω   y 2 x d x d y

Passo 4

Parece complicado descrever a região Ω em termos de x e y , vamos então fazer uma mudança de variáveis. Como temos parábolas descritas por y 2 x = número e outras por x 2 y = número e, vamos chamar:

y 2 x = u

x 2 y = v

Passo 5

Precisamos calcular o Jacobiano dessa mudança. Como é complicado escrever x e y em função de u e v , vamos calcular o Jacobiano da transformação inversa, J * = ∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y ) e inverter o resultado:

J * = ∂ ( u ,   v ) ∂ ( x ,   y ) = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = - y 2 x 2 2 y x 2 x y — x 2 y 2 = - 3

J * = 1 J

J = - 1 3

J = 1 3

Passo 6

Agora temos que encontrar os intervalos de integração em u e v . Fazendo a substituição de variáveis das equações das parábolas temos:

3 x 2 = π y   → 3 v = π   → v = π / 3

3 x 2 = 2 π y   → 3 v = 2 π   → v = 2 π / 3

y 2 = 2 x   → u = 2

y 2 = 4 x   → u = 4

Ou seja, π / 3 ≤ v ≤ 2 π / 3 e 2 ≤ u ≤ 4 .

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos na integral, temos:

∬ Ω   y 2 x d x d y = ∫ π / 3 2 π / 3 ∫ 2 4 u × 1 3   d u d v =

Passo 8

Integrando em relação a u :

= 1 3 ∫ π / 3 2 π / 3 u 2 2 u = 2 u = 4 d v =

= 1 6 ∫ π / 3 2 π / 3 16 - 4 d v =

= 2 ∫ π / 3 2 π / 3 d v =

Passo 9

Agora em relação a v :

= 2 v π / 3 2 π / 3 =

= 2 2 π 3 - π 3 =

Resposta

2 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 �� ��a ( 2,6 ) a 2,0 a
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x