Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 16c

16) Calcule as seguintes integrais:

c)

C   y 2 2 d x + 2 x y   d y

onde C é a fronteira da região limitada por y = x , y = - x e x 2 + y 2 = 4 , com y 0 .

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando

F x ,   y = y 2 2 ,   2 x y

ele é chato. Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema. Mas, para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

F 2 x - F 1 y

As derivadas parciais são...

F 2 x = 2 x y x = 2 y

F 1 y = y 2 2 y = y

logo

F 2 x - F 1 y = y

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma curva C fechada delimitando a região D .

2º - A curva C , orientada positivamente.

3º - Um campo F sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

1º - Precisamos de uma curva C fechada e delimitando uma região D . Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é a curva composta por essas três retas: y = x , y = - x e x 2 + y 2 = 4 , y 0 ...

Onde a região D é justamente...

2º - E mais, ela está orientada positivamente sim!!!

Quando o problema não nos fala nada sobre a orientação, assumimos que é no sentido anti-horário, portanto positivamente

- O campo F que estamos trabalhando...

F x ,   y = y 2 2 ,   2 x y

nem tem singularidade :D!

Passo 4

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla e beijinho no ombro ;)

Substituindo...

C   F d r = D     y   d A

Para calcular essa integral dupla, devemos descrever a região D . Como estamos dentro de um pedacinho de circunferência, nada mais justo que pensarmos nas coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sin θ

J = r

Passo 5

Para encontrar os limites das variáveis olhemos para a região novamente:

Perceba que o raio r está saindo da origem e indo até a borda máxima que é...

0 r 2

O ângulo θ varia da reta do lado direito até a reta do lado esquerdo no segundo quadrante. A reta no primeiro quadrante tem equação

y = x

r sin θ = r cos θ

sin θ cos θ = 1               tan θ = 1             θ = 45 ° = π 4

em relação a reta y = - x ...

y = - x

r sin θ = - r cos θ

sin θ cos θ = - 1             tan θ = - 1             θ = 135 ° = 3 π 4

Logo...

π 4 θ 3 π 4

Passo 6

Retornando a integral dupla que encontramos por Green...

D     y   d A

e substituindo tudo pelas novas coordenadas (cuidado para não esquecer o Jacobino):

π 4 3 π 4 0 2 r sin θ J   d r d θ =

π 4 3 π 4 0 2 r 2 sin θ   d r d θ

Calculando...

π 4 3 π 4 sin θ 0 2 r 2   d r d θ =

π 4 3 π 4 sin θ r 3 3 0 2 d θ =

π 4 3 π 4 sin θ 2 3 3 d θ = 8 3 π 4 3 π 4 sin θ d θ =

8 3 - cos θ π 4 3 π 4 = 8 3 - cos 3 π 4 - - cos π 4 =

8 3 2 2 - - 2 2 = 8 3 2

Resposta

c )   8 3 2

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