Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 21

Aplique o Teorema de Green para calcular a integral:

C y 2 d x + x 2 d y

Onde a curva C é o triângulo limitado por x = 0 , x + y = 1 e y = 0 .

  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. 3
  5. 1

Passo 1

Vamos começar desenhando a curva C no plano cartesiano. O nosso triângulo é definido por três retas:

x = 0

y = 0

x + y = 1                 y = - x + 1

As duas primeiras retas são mais fáceis de desenhar.

Se você tiver dificuldade para desenhar a terceira reta, escolhe dois pontos quaisquer para calcular e depois só desenhe a reta que passa por eles:

x = 0         y = - 0 + 1 = 1           P 1 ( 0,1 )

x = 1             y = - 1 + 1 = 0           P 2 ( 1,0 )

Então nosso triângulo é esse aqui:

E a região R é toda a área desse triângulo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos lembrar o que diz o teorema de Green:

C P d x + Q d y = R Q x - P y d x d y

No nosso caso:

P = y 2

Q = x 2

E vamos calcular as derivadas parciais:

Q x = x x 2 = 2 x

P y = y y 2 = 2 y

Substituindo isso na fórmula do teorema:

C y 2 d x + x 2 d x = R 2 x - 2 y d x d y = 2 R x - y d x d y

Passo 3

Agora precisamos calcular essa integral:

2 R x - y d x d y

Lembrando que R é essa região em verde:

Como podemos integrar a função nessa região? Primeiro temos que escolher uma variável que vai ser limitada por constantes, vamos tomar a x , por exemplo, entre quais números ela varia?

0 x 1

Ok, agora pegue um x qualquer nesse intervalo. Com esse x fixo, em que intervalo o y varia?

Nós vamos do y = 0 até o valor da função y = - x + 1 naquele x , ou seja:

0 y - x + 1

Ótimo, agora vamos jogar isso na integral:

0 1 0 - x + 1 2 ( x - y )   d y   d x

Passo 4

Agora está tudo pronto para resolvermos:

0 1 0 - x + 1 2 ( x - y )   d y   d x

Começamos integrando em relação a y , lembrando que:

( x - y )   d y = x y - y 2 2 + C

Então:

2 0 - x + 1 ( x - y )   d y = 2   x - x + 1 - - x + 1 2 2 - x 0 - 0 2 2 = - 2 x 2 + 2 x - 1 - x 2

Agora vamos arrumar um pouco esse polinômio:

- 2 x 2 + 2 x - 1 - x 2 = - 2 x 2 + 2 x - 1 - 2 x + x 2 = - 2 x 2 + 2 x - 1 + 2 x - x 2 = - 3 x 2 + 4 x - 1

E substituindo isso na integral dupla:

0 1 - 3 x 2 + 4 x - 1   d x

Agora é só integrar esse polinômio em relação a x , sabendo que:

- 3 x 2 + 4 x - 1 d x = - x 3 + 2 x 2 - x + C

Então:

0 1 - 3 x 2 + 4 x - 1   d x = - 1 3 + 2 1 2 - 1 - ( - 0 3 + 2 0 2 - 0 )

0 1 - 3 x 2 + 4 x - 1   d x = - 1 + 2 - 1 = 0

E esse é o valor da nossa integral!

Resposta

Letra (a).

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