Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNICAMP, Cálculo 2, P3 - 2014.2 - 6ª Noturno, Questão 2

Calcule C   F . d r , em que

F x , y = x 2 + y i + 3 x - y 2 j

E C é a fronteira orientada positivamente de uma região D que tem área 6 .

Passo 1

Bom, como o problema nem nos dá a expressão da curva C em que queremos fazer a integral de linha, já sabemos que só podemos calcular isso aí por Green, certo? É o que vamos fazer então:

Temos então

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d x d y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos calcular F 2 x - F 1 y

Temos:

F x , y = x 2 + y ,   3 x - y 2

F 2 x = x 3 x - y 2 = 3

F 1 y = y x 2 + y = 1

F 2 x - F 1 y = 3 - 1 = 2

Como encontramos uma expressão relativamente simples, isso quer dizer que estamos no caminho certo!

Passo 3

Agora podemos montar a integral. Aplicando o teorema de Green, a integral do enunciado pode ser escrita como:

C   F . d r = D   2 d x d y

= 2 D   d x d y

Passo 4

Bom, como sabemos que a integral dupla de d x d y em uma região D nos dá a área dessa região, podemos escrever:

C   F . d r = 2 Á r e a ( D )

Já que o enunciado nos diz que essa área é igual a 6 , temos:

C   F . d r = 12

Resposta

12

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