Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFRJ, Cálculo 3, P1 - 2012.2, Questão 4

Calcule a integral de linha do campo vetorial F x , y = y 3 3 x + e cos x ,   sen y 3 + 1 ao longo da curva C , sendo C o bordo da região Ω definida pela interseção das seguinte regiões 3 x 2 π y , 3 x 2 2 π y , y 2 2 x e y 2 4 x . Além disso, assumimos que C é orientada no sentido horário.

Passo 1

Temos 4 parábolas limitando a seguinte região:

Como a integral ao longo dessa curva parece complicada de se calcular pela definição, vamos aplicar o Teorema de Green. Como C está orientada negativamente, temos:

C _   F d r = Ω   F 2 x - F 1 y d x d y

C   F d r = - Ω   F 2 x - F 1 y d x d y

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Passo 2

Vamos agora calcular F 2 x - F 1 y :

F 2 x = x sen y 3 + 1 = 0

F 1 y = y y 3 3 x + e cos x = 3 y 2 3 x = y 2 x

F 2 x - F 1 y = - y 2 x

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

C   F d r = - Ω   - y 2 x d x d y = Ω   y 2 x d x d y

Passo 4

Parece complicado descrever a região Ω em termos de x e y , vamos então fazer uma mudança de variáveis. Como temos parábolas descritas por y 2 x = número e outras por x 2 y = número e, vamos chamar:

y 2 x = u

x 2 y = v

Passo 5

Precisamos calcular o Jacobiano dessa mudança. Como é complicado escrever x e y em função de u e v , vamos calcular o Jacobiano da transformação inversa, J * = ( u ,   v ) ( x ,   y ) e inverter o resultado:

J * = ( u ,   v ) ( x ,   y ) = u x u y v x v y = - y 2 x 2 2 y x 2 x y x 2 y 2 = - 3

J * = 1 J

J = - 1 3

J = 1 3

Passo 6

Agora temos que encontrar os intervalos de integração em u e v . Fazendo a substituição de variáveis das equações das parábolas temos:

3 x 2 = π y   3 v = π   v = π / 3

3 x 2 = 2 π y   3 v = 2 π   v = 2 π / 3

y 2 = 2 x   u = 2

y 2 = 4 x   u = 4

Ou seja, π / 3 v 2 π / 3 e 2 u 4 .

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos na integral, temos:

Ω   y 2 x d x d y = π / 3 2 π / 3 2 4 u × 1 3   d u d v =

Passo 8

Integrando em relação a u :

= 1 3 π / 3 2 π / 3 u 2 2 u = 2 u = 4 d v =

= 1 6 π / 3 2 π / 3 16 - 4 d v =

= 2 π / 3 2 π / 3 d v =

Passo 9

Agora em relação a v :

= 2 v π / 3 2 π / 3 =

= 2 2 π 3 - π 3 =

Resposta

2 π 3

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