Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UNICAMP, Cálculo 2, Exame - 2018.2, Questão 4

Calcule a integral

C 2 y 2 + cos x 3   d x +   5 x y + e y   d y

Sendo a curva C a fronteira orientada positivamente da região semianular R contida no semiplano superior entre as circunferências x 2 + y 2 = 4   e   x 2 + y 2 = 16 .

Passo 1

Eu gosto de começar sempre visualizando nossa região.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, bora lá, o enunciado já nos da essa ajudada falando que nossa fronteira é orientada positivamente, o que já nos indica que a gente pode usar o Teorema de Green. Como nossa região se trata do intervalo entre duas circunferências, podemos adiantar também que vamos usar coordenadas polares!

0 θ π

2 r 4

Passo 3

Usando o Teorema de Green temos

C 2 y 2 + cos x 3   d x +   5 x y + e y   d y =

R x 5 x y + e y - y 2 y 2 + c o s   x 3 d A =

R y   d A =  

Agora fazemos as coordenadas polares onde x = r c o s θ , y = r s e n θ   e   J = r .

0 π 2 4 r   s e n θ   r   d r   d θ =

0 π r 3 3 2 4 s e n θ d θ =

- c o s θ 0 π r 3 3 2 4 =  

= 112 3

Resposta

112 3

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