Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2012.2, Questão 1b

Calcule as seguintes integrais de linha:

C   y 3 d x - x 3 d y

Onde C é o triângulo de vértices ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( 0 , - 1 ) , percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Bem, a expressão desse campo é bem simples, então podemos calcular essa integral pela definição sem problemas. Acontece que, como temos três segmentos de reta, temos que fazer três parametrizações e resolver três integrais de linha... então de repente vale à pena usar Green, né? Temos isso aqui:

F 2 x = - 3 x 2

F 1 y = 3 y 2

F 2 x - F 1 y = - 3 x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa curva C . Temos isso aqui:

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido dentro dela, podemos escrever o seguinte:

C   F . d r = R   F 2 x - F 1 y d x d y

Ou seja:

C   F . d r = - 3 R   x 2 + y 2 d x d y

Passo 3

Agora vamos escrever essa região R como tipo I e resolver essa integral.

Para isso, precisamos das equações das reta inclinadas. A de cima, liga os pontos ( 0,1 ) e ( 1,0 ) , substituindo na equação geral da reta, temos:

y = a x + b

1 = 0 + b                 b = 1

0 = a + 1                 a = - 1

y = - x + 1

Para a reta debaixo, temos os pontos ( 0 , - 1 ) e ( 1,0 ) :

- 1 = 0 + b               b = - 1

0 = a - 1                 a = 1

y = x - 1

Como y varia entre a reta inclinada debaixo e a de cima, temos x - 1 y - x + 1 . E x , como podemos ver, varia de 0 a 1 . Levando para a integral:

C   F . d r = - 3 0 1 x - 1 - x + 1 x 2 + y 2 d y d x

Passo 4

Agora é só resolver isso aí:

= - 3 0 1 x 2 y + y 3 3 x - 1 - x + 1 d x =

= - 3 0 1 - x 2 x - 1 - x - 1 3 3 - x 2 x - 1 + x - 1 3 3 d x =

= - 6 0 1 x 2 - x 3 - x - 1 3 3 d x =

= - 6 x 3 3 - x 4 4 - x - 1 4 12 0 1 =

= - 6 1 3 - 1 4 + 1 12 =

= - 1

Resposta

- 1

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