Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Teorema de Green

Calcule o trabalho do campo vetorial F x , y = - y 3 , x 3 + y 4 e arctg ( y 8 + 1 ) ao longo da curva C definida em coordenadas polares por C : r 4 = sen 2 ⁡ θ onde θ ∈ [ 0 ,   π ] , r ≥ 0 e orientada com θ crescente.

Passo 1

Essa integral de linha parece complicada de se calcular diretamente pela definição, não é? Não se assuste, ela ficará bem mais simples quando aplicarmos o Teorema de Green.

Bem, pelo enunciado já sabemos que a curva está orientada positivamente, resta, então, saber se ela é fechada. Veja que quando temos θ = 0 , r = 0 também. Quando aumentamos o valor de θ , r começa aumentar e depois a diminuir, até que em θ = π temos novamente r = 0 . Portanto, em uma variação angular de π a curva volta ao mesmo ponto, ou seja, temos uma curva fechada acima do eixo x .

Faremos, então:

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

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Passo 2

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 3 + y 4 e arctg ( y 8 + 1 ) = 3 x 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y - y 3 = - 3 y 2

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 3 ( x 2 + y 2 )

Passo 3

Aplicando o teorema de Green, temos:

∫ C   F ⋅ d r = 3 ∬ D   x 2 + y 2 d x d y

Escrevendo em coordenadas polares essa curva, temos 0 ≤ r ≤ | sen ⁡ θ | , ou seja, r varia entre a origem e a equação da curva. Resta o intervalo de θ . Como já vimos, a curva volta ao valor r = 0 com uma variação angular de π , temos, então 0 ≤ θ ≤ π .

Lembre-se de que para aplicarmos o Teorema de Green a curva deve ser percorrida apenas uma vez!

3 ∫ 0 π ∫ 0 | sen ⁡ θ | r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ r   d r d θ =

= 3 ∫ 0 π ∫ 0 | sen ⁡ θ | r 3   d r d θ =

Passo 4

Integrando em relação a r :

= 3 ∫ 0 π r 4 4 r = 0 r = | sen ⁡ θ | d θ =

= 3 4 ∫ 0 π sen 2 ⁡ θ d θ =

Passo 5

Aplicando a equação do arco duplo sen 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

= 3 8 ∫ 0 π ( 1 - cos ⁡ 2 θ )   d θ =

= 3 8 θ - sen ⁡ 2 θ 2 0 π =

= 3 8 π - 0 - 0 + 0 =

Resposta

3 π 8

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