Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Teorema de Green

Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do exterior da circunferência x 2 + y 2 = 16 , um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epiciclóide. Uma parametrização da epiciclóide C é dada por r t = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t ,   5   s e n   t - s e n   5 t . Nessa parametrização C é uma curva fechada para t ∈ [ 0,2 π ] . Calcule a área da região limitada pela epiciclóide C .

Passo 1

Imagino que você tenha lido esse enunciado e pensado “wtf”. Calma, não é tão ruim assim. Isso não é fundamental para a questão, mas só para a gente entender melhor, essa curva que o enunciado chama de “epiciclóide” é isso aqui:

Como a questão fala, ela é fechada. É disso que precisamos saber.

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Passo 2

Certo, agora queremos a área disso aí. Vamos pensar com muita calma. Nós queremos a área de uma região limitada por uma curva (que está parametrizada).

Bom, falando em área nós pensamos logo em integral dupla, né?

A = ∬ D   d x d y

Que Teorema que nós conhecemos que relaciona uma integral dupla em uma área com a sua fronteira? No caso, com uma integral de linha sobre sua fronteira.

Isso mesmo, Teorema de Green:

∮ C   F . d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Olha que maravilha, C já é fechada. Então, podemos relacionar uma integral de linha sobre C com uma integral dupla na área limitada por ela.

Mas temos um problema, aquela integral dupla que apareceu no teorema não é igual à área, que queremos.

Na verdade, ela pode ser igual se:

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1

Então, tudo o que precisamos é de um campo F que satisfaça essa condição. Vamos escolher um fácil né? Pode ser:

F x , y = 0 , x

Nesse caso

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 1 - 0 = 1

Show! Agora podemos aplicar Green:

∮ C   F . d r = ∬ D   d x d y = A

Logo, a área que queremos é dada pela integral de linha de F (que inventamos) em C .

Passo 3

Como a curva já está parametrizada, a primeira coisa a fazer para montar a integral de linha é derivar essa parametrização:

r t ' = - 5 s e n   t + 5   s e n   5 t ,   5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula:

∫ C   F x , y ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ⋅ r → ' t d t

Escrevendo o campo nas variáveis da parametrização, temos:

F x t ,   y t = 0 ; 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t

Levando o que temos para a integral

A = ∫ 0 2 π 0 ; 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t . - 5 s e n   t + 5   s e n   5 t ,   5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t d t

= ∫ 0 2 π 25 cos 2 ⁡ t - 5 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t - 25 cos ⁡ 5 t cos ⁡ t + 5 cos 2 ⁡ 5 t d t =

= ∫ 0 2 π 25 cos 2 ⁡ t - 30 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + 5 cos 2 ⁡ 5 t d t =

Agora, usamos a relação

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

= 1 2 ∫ 0 2 π 25 + 25 cos ⁡ 2 t + 5 + 5 cos ⁡ 10 t d t - 30 ∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t =

= 1 2 ∫ 0 2 π 30 + 25 cos ⁡ 2 t + 5 cos ⁡ 10 t d t - 30 ∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t =

= 1 2 30 t + 25 2 s e n   2 t + 1 2 s e n   10 t 0 2 π - 30 ∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t =

= 30 π - 30 ∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t =

u = cos ⁡ t             →             u ' = - s e n   t

v ' = cos ⁡ 5 t                 →                 v = 1 5 s e n   5 t

∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = 1 5 cos ⁡ t   s e n   5 t 0 2 π + 1 5 ∫ 0 2 π s e n   t   s e n   5 t d t

u = sen t  ⁡             →             u ' = cos ⁡ t

v ' = s e n   5 t                 →                 v = - 1 5 cos ⁡ 5 t

∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = 1 5 cos ⁡ t   s e n   5 t 0 2 π + 1 5 - 1 5 s e n   t cos ⁡ 5 t 0 2 π + 1 5 ∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t

24 25 ∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = 1 5 cos ⁡ t   s e n   5 t 0 2 π - 1 25 s e n   t cos ⁡ 5 t 0 2 π = 0

∫ 0 2 π cos ⁡ t cos ⁡ 5 t d t = 0

Assim, temos

A = 30 π - 0 = 30 π

Resposta

30 π

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