Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2012.1, Questão 2b

Considere o campo vetorial F x , y = 5 - x y - y 2 , x 2 - 2 x y em R 2 .

Calcule

C   F . d r

Onde C é o quadrado de vértices ( 0,0 ) , ( 1,0 ) , ( 1,1 ) , ( 0,1 ) , percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Bem, como a região limitada por C é um quadrado (bem simples de se escrever em integral duplas), vamos tentar aplicar Green para ver no que dá:

F 2 x = 2 x - 2 y

F 1 y = - x - 2 y

F 2 x - F 1 y = 2 x - 2 y - - x - 2 y = 3 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa curva C . Temos isso aqui:

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido dentro dela, podemos escrever o seguinte:

C   F . d r = R   F 2 x - F 1 y d x d y

Ou seja:

C   F . d r = 3 R   x d x d y

Passo 3

Agora vamos escrever essa região R na integral dupla, o que é bem tranquilo, porque se trata de um quadrado:

C   F . d r = 3 0 1 0 1 x d x d y

Resolvendo isso aí:

= 3 0 1 x 2 2 0 1 d y =

= 3 2 0 1 d y =

= 3 2

Resposta

3 2

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