Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 19

Considere o campo vetorial dado por F x , y = f x , y - y , - x , onde f x , y = x 2 e x y cos y 2 . Calcule C F d r , onde C é a elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 36 , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Esse enunciado é meio estranho, não é? Parece que as informações estão todas meio confusas ai dentro. Vamos tentar esclarecer tudo o que ele nos informou:

A primeira coisa que ele faz é definir o campo vetorial

F x , y = f x , y - y , - x

Isso que ele fez é praticamente definir o campo como uma subtração de dois campos, pensa em F = G - H nesse caso

G = f x , y

H = y , - x

Tá, e o que é esse triangulo de cabeça pra baixo aí? Isso é um operador que a gente conhece por

= x , y

Ou seja, ele transforma uma função em um vetor de derivadas! A primeira em relação a x e a segunda em relação a y , sacou?

G = f = f x , f y

Isso vai ser muito útil pra gente quando formos calcular o termo da integral dupla de green, mas a gente já chega lá! :D

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Passo 2

Beleza, vamos voltar então pro que o enunciado pede. Ele quer que a gente calcule

C F d r

Como desmembramos o campo F , o que precisamos calcular é isso aqui

C F d r = C G d r - C H d r

Vamos fazer cada uma separadamente aqui, beleza? Mas... a dificuldade maior mesmo é entender esses detalhes. É uma questão bem diferente que, se deixamos passar alguma coisa, não vamos conseguir resolver. E e ntão você entendeu???

Se sim, me siga ;)

Se não, dá mais uma lidinha. Confio em você e você vai entender :D!

Passo 3

Vamos partir aqui para a primeira integral

C G d r

G = f = f x , f y

Pelo teorema de Green

C G d r = D G 2 x - G 1 y d x d y

E aqui que vamos ter uma sacada, dá uma olhada com atenção nisso aqui

G 1 = f x

G 1 y = 2 f x y

Ou seja, G 1 é a derivada de f em relação a x e vamos deriva-la em relação a y agora. Algo semelhante vai acontecer com G 2

G 2 = f y

G 2 x = 2 f y x

Só que aprendemos lá no começo de derivadas uma propriedade que vai nos salvar aqui! Quando temos uma função f x , y contínua num intervalo dado, temos a igualdade

2 f x y = 2 f y x

Ou seja, derivar a função primeiro em x e depois em y é a mesma coisa que primeiro em y e depois em x ! Agora ficou moleza, né? Como esses dois caras são iguais

G 2 x = G 1 y

G 2 x - G 1 y = 0

E a integral fica

C G d r = D G 2 x - G 1 y d x d y = 0

Felicide tentendo ao infinito nesse momento, neh?

Passo 4

Vamos agora para a integral de H

C H d r

H = y , - x

É só fazer o teorema de Green normalmente aqui, como nossa curva C é fechada, fica assim

C H d r = D H 2 x - H 1 y d x d y

Vamos calcular esse termo dentro da integral dupla, então

H 2 = - x

H 2 x = - 1

H 1 = y

H 1 y = 1

H 2 x - H 1 y = - 1 - 1 = - 2

A integral fica

D - 2 d x d y = - 2 ( Á r e a   d e   D )

Só que a região D é essa elipse aqui

4 x 2 + 9 y 2 = 36

x 2 9 + y 2 4 = 1

Para uma elipse genérica

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Podemos calcular a sua área através da frmula

A = a b π

No nosso caso a elipse tem a = 3 e b = 2 , portanto

A = 3.2 . π = 6 π

C H d r = - 2 Á r e a   d e   D

= - 2 6 π = - 12 π

C H d r = - 12 π

Passo 5

Voltando para a pergunta dele lá do começo

C F d r = C G d r - C H d r

C F d r = 0 - - 12 π = 12 π

C F d r = 12 π

Resposta

12 π

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