Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G2 - 2013.1, Questão 1

Considere a integral de linha

I = C   x 2 + 3 x 2 y 2 d x + 2 x 3 y + x 2 d y

Onde C é a curva que delimita a região R entre os gráficos de y = 0 e y = 4 - x 2 .

  1. Calcule I usando obrigatoriamente o Teorema de Green.
  2. Confira o resultado do item anterior calculando I pela definição.

Passo 1

Letra a)

Bom, para aplicar Green, precisamos começar calculando o termo F 2 x - F 1 y :

F 2 x = 6 x 2 y + 2 x

F 1 y = 6 x 2 y

F 2 x - F 1 y = 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa região R , temos uma parábola com concavidade para baixo cortada pela reta y = 0 :

A curva C do problema é essa aí, para podermos aplicar Green, vamos orientá-la dessa forma:

Beleza, como a curva está orientada positivamente e o campo está definido em R , podemos escrever o seguinte:

C   F . d r = R   F 2 x - F 1 y d x d y

Ou seja:

I = C   x 2 + 3 x 2 y 2 d x + 2 x 3 y + x 2 d y = R   2 x d x d y

Passo 3

Agora vamos escrever essa região R como tipo I e resolver essa integral.

Temos y entre as curvas y = 0 e y = 4 - x 2 , enquando x varia de - 2 a 2 , como vemos na figura. Levando isso para a integral:

I = 2 - 2 2 0 4 - x 2 x d y d x

Agora é só resolver isso aí:

I = 2 - 2 2 x y 0 4 - x 2 d x

= 2 - 2 2 4 x - x 3 d x =

= 2 2 x 2 - x 4 4 - 2 2 =

= 0

Passo 4

Letra b)

Beleza, agora vamos calcular essa integral de linha pela definição. Antes de tudo, precisamos parametrizar C , que é formada por duas curvas com equações diferentes.

Vamos chamar a parábola de p e o segmento de reta de r , ok? Portanto, C é a união de p com r .

Vamos parametrizar a parábola y = 4 - x 2 usando x como parâmetro, para facilitar as coisas. Temos isso aqui:

p x = x , 4 - x 2

Como podemos ver pelo gráfico, x vai de 2   a - 2 (respeitando a orientação da curva).

Como o segmento de reta pertence à reta y = 0 , podemos usar essa parametrização aqui:

r x = x , 0

Olhando de novo para o gráfico, temos x de - 2 a 2 .

Passo 5

Agora vamos derivar essas parametrizações aí:

p x = 1 , - 2 x

r ' x = 1,0

Passo 6

Show, agora vamos montas as integrais, temos isso aqui:

I = C   F . d r = a b F C ( t ) . C ' d t

Mas C é formada por duas partes:

I = p   F . d r + r   F . d r = c d F p ( x ) . p ' d x + e f F r ( x ) . r ' d x

Substituindo o que encontramos nos outros passos e escrevendo o campo

F ( x , y ) = x 2 + 3 x 2 y 2 , 2 x 3 y + x 2

em função das variáveis de cada parametrização, temos:

I = 2 - 2 x 2 + 3 x 2 4 - x 2 2 , 2 x 3 4 - x 2 + x 2 ( 1 , - 2 x ) d x + - 2 2 x 2 , x 2 1,0 d x

Para a primeira integral, temos:

2 - 2 x 2 + 3 x 2 4 - x 2 2 - 4 x 4 4 - x 2 - 2 x 3 d x

= 2 - 2 49 x 2 - 2 x 3 - 40 x 4 + 7 x 6 d x =

= 49 x 3 3 - x 4 2 - 8 x 5 + x 7 2 - 2 =

= - 16 49 3 + 64 8 - 256 = - 16 3

Para a segunda integral:

- 2 2 x 2 d x

= x 3 3 - 2 2 =

= 8 3 - - 8 3 = 16 3

Logo:

I = p   F . d r + r   F . d r = - 16 3 + 16 3 = 0

Ótimo, encontramos a mesma coisa : )

Resposta

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